第50讲多元函数微分法及其应用--测验卷

发布日期 2026/4/21 16:07:15 查看 59 加入组卷查看作者

单选题

函数 $u=f(x, y, z)$ 在 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 点沿任意方向的方向导数存在是该函数在该点可微分的条件；

$\text{A.}$ 充分 $\text{B.}$ 必要 $\text{C.}$ 充分必要 $\text{D.}$ 无关

设函数 $f(x, y)$ 可微，且对任意 $x, y$ 都有 $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}>0, \frac{\partial f(x, y)}{\partial y} < 0$ ，则使不等式 $f\left(x_1, y_1\right) < f\left(x_2, y_2\right)$ 成立的一个充分条件是．

$\text{A.}$ $x_1>x_2, y_1 < y_2$ $\text{B.}$ $x_1>x_2, y_1>y_2$ $\text{C.}$ $x_1 < x_2, y_1 < y_2$ $\text{D.}$ $x_1 < x_2, y_1>y_2$

填空题

$f(x, y, z)=\frac{\left(y^2+1\right)^{x^2}}{z^2}$, 则 $f_x(1,1,1)=$ $\_\_\_\_$ , $f_{y y}(1,1,1)=$ $\_\_\_\_$ , $f_{z z z}(1,0,1)=$ $\_\_\_\_$

$f(x, y)$ 具有二阶连续偏导，试写出判别函数 $f(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 取得极小值的一个充分条件： $\_\_\_\_$ ，并且 $\_\_\_\_$

函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 可微，则极限 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1-h, 1+2 h)-f(1,1)}{h}=$

解答题

$f(u, v)$ 具有连续的偏导数，若 $z=f\left(x^2-y z, x-2 y\right)$ 确定了可微函数 $z=z(x, y)$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ ； $\frac{\partial z}{\partial y}$

$f(x, y) \in C^2, z=f(3 x+2 y, 4 x-3 y)$ ．
（1）求偏导数 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ；
（2）若 $z=f(3 x+2 y, 4 x-3 y)$ 确定了函数 $y=y(x, z)$ ，求全微分 $\mathrm{d} y$ ．

设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $x^3 y+\sin (y-z)=z$ 确定的函数．求二阶偏导数 $\left.\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right|_{p_0}$ ，其中 $P_0$ 为 $y=z=1$ 所对应的点．

求：（1） $3 x^2+y^2+z^2=16$ 在 $(-1,-2,3)$ 点的切平面；（2）该切平面与 $x O y$ 平面的夹角；
（3）点 $(1,1,1)$ 到该切平面的距离

$l=(m, n, p)$ 是模长为 3 的向量，要使得函数 $u=x+y^{x^2} z+\ln z$ 在点 $P(1,1,1)$ 沿 $l$ 的方向导数最大，试求出该方向 $l$ ，并求出此时该最大方向导数的值

求出 $f(x, y)=\left(1+\mathrm{e}^y\right) \cos x-y \mathrm{e}^y$ 的所有极值，并且说明是极大还是极小值．

求 $x^2+y^2+\frac{z^2}{4}=1$ 在第一卦限上的点，使该点处的切平面与三个坐标平面所围四面体的体积最小．

$f(x, y)$ 具有连续的偏导数，并且满足 $f(0,0)=0, \sqrt{f_x{ }^2(x, y)+f_y{ }^2(x, y)} \leq M$ ．证明： $|f(x, y)| \leq M \rho$ ，其中 $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$ ．

在平面 $x O y$ 上求一点，使它到直线 $x=0, y=0$ 及 $x+2 y-16=0$ 的距离平方之和为最小。

抛物面 $z=x^2+y^2$ 被平面 $x+y+z=1$ 截成一椭圆，求原点与该椭圆上点的距离的最大值与最小值．

形状为椭球 $4 x^2+y^2+4 z^2 \leq 16$ 的空间探测器进入地球大气层，其表面开始受热， 1 ，后在探测器的点 $(x, y, z)$ 处的温度 $T=8 x^2+4 y z-16 z+600$ ，求探测器表面最热的点

第50讲 多元函数微分法及其应用--测验卷

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