哈工大数学系编《复变函数与积分变换同步辅导》复变函数的积分

发布日期 2026/3/25 16:35:12 查看 55 加入组卷查看作者

单选题

设 $f(z)$ 在闭路 $C$ 上及其内部解析，$z_0$ 在 $C$ 的内部，则有．

$\text{A.}$ $\oint_C \frac{f(z)}{\left(z-z_0\right)^2} \mathrm{~d} z=f^{\prime}\left(z_0\right) \oint_C \frac{1}{\left(z-z_0\right)^2} \mathrm{~d} z$ ； $\text{B.}$ $\oint_C \frac{f(z)}{\left(z-z_0\right)^2} \mathrm{~d} z=\oint_C \frac{f^{\prime}(z)}{z-z_0} \mathrm{~d} z$ ； $\text{C.}$ $\oint_C \frac{f(z)}{\left(z-z_0\right)^2} \mathrm{~d} z=\frac{f\left(z_0\right)}{2!} \oint_C \frac{1}{z-z_0} \mathrm{~d} z$ ； $\text{D.}$ $\oint_C \frac{f(z)}{\left(z-z_0\right)^2} \mathrm{~d} z=\oint_C \frac{f\left(z_0\right)}{z-z_0} \mathrm{~d} z$ ．

设 $C:|z-1|=1$, 则 $\oint_C \frac{\mathrm{~d} z}{(z-1)^3(z+1)^3}=(\quad)$.

$\text{A.}$ $\frac{3 \pi}{8} \mathrm{i}$; $\text{B.}$ $-\frac{3 \pi}{8} i$; $\text{C.}$ $\frac{3 \pi}{4} i$; $\text{D.}$ $-\frac{3 \pi}{4} \mathrm{i}$.

解答题

设 $C$ 为围绕 $z_0$ 的任一条闭路，求 $\oint_C \frac{\mathrm{~d} z}{\left(z-z_0\right)^n}$

求积分 $\int_C\left(z^2+z+1\right) \mathrm{d} z$ 的值，其中积分路径 $C$ 为连接 0 到 $2 \pi a$ 的摆线：$x=a(\theta-\sin \theta), y=a(1-\cos \theta)$ ．

设 $f(z)$ 在单连域 $B$ 内解析，$C$ 为 $B$ 内任一条闭路，问

$$
\oint_C \operatorname{Re}[f(z)] \mathrm{d} z=0, \quad \oint_C \operatorname{Im}[f(z)] \mathrm{d} z=0
$$
是否成立？如成立，给出证明；如不成立，举例说明．

计算积分 $\oint_C \bar{z} \mathrm{~d} z$ 的值，其中 $C:|z|=1$ ．

求积分 $\oint_C \frac{1}{z^2-z} \mathrm{~d} z$ 的值，其中 $C:|z|=2$ ．

求积分 $\oint_C \frac{\cos z}{(z-1)^3} \mathrm{~d} z$ ，其中 $C:|z|=2$ ．

求积分 $\oint_C \frac{\mathrm{e}^z}{z(z-1)^2} \mathrm{~d} z$ ，其中 $C$ 分别为
（1）$|z|=\frac{1}{2}$ ；
（2）$|z-1|=\frac{1}{2}$ ；
（3）$|z|=2$ ．