单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow x_0$ 时， $\alpha(x), \beta(x)$ 都是无穷小, 则当 $x \rightarrow x_0$ 时 ( ) 不一定是无穷小。
$\text{A.}$ $|\alpha(x)|+|\beta(x)|$
$\text{B.}$ $\alpha^2(x)+\beta^2(x)$
$\text{C.}$ $\ln [1+\alpha(x) \cdot \beta(x)]$
$\text{D.}$ $\frac{\alpha^2(x)}{\beta(x)}$
极限 $\lim _{x \rightarrow a}\left(\frac{\sin x}{\sin a}\right)^{\frac{1}{x-a}}$ 的值是
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $e$
$\text{C.}$ $e^{\cot a}$
$\text{D.}$ $e^{\tan a}$
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin x+e^{2 a x}-1}{x} & x \neq 0 \\ a & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则 $a=$.
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ e
$\text{D.}$ -1
设 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导, 那么 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a-2 h)}{h}=$
$\text{A.}$ $3 f^{\prime}(a)$
$\text{B.}$ $2 f^{\prime}(a)$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(a)$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3} f^{\prime}(a)$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (x+a)-\ln a}{x} \quad(a>0)$ 的值是
由 $e^{x y}+y \ln x=\cos 2 x$ 确定函数 $y(x)$, 则导函数 $y^{\prime}=$
直线 $l$ 过点 $M(1,2,3)$ 且与两平面 $x+2 y-z=0,2 x-3 y+5 z=6$ 都平行, 则直线 $l$ 的方程为
求函数 $y=2 x-\ln (4 x)^2$ 的单调递增区间为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-e}{x}$.
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 且$F(x)=\int_a^x(x-t) f(t) d t \quad x \in[a, b]$, 试求出 $F^{\prime \prime}(x)$ 。
求 $\int x \frac{\cos x}{\sin ^3 x} d x$.
计算 $\int_2^2 \frac{d x}{x \sqrt{x^2-1}}$
求函数 $y=\frac{2 x}{1+x^2}$ 的极值与拐点.
设 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续, 在 $(0,2)$ 可导, 且 $2 f(0)=\int_0^2 f(x) d x$ 。 证明:
(1) $\exists \eta \in(0,2)$, 使 $f(\eta)=f(0)$;
(2) 对任意实数 $\lambda, \exists \xi \in(0,2)$, 使 $f^{\prime}(\xi)+\lambda(f(\xi)-f(0))=0$