解答题 (共 6 题 ),解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
给定正整数 $n$. 一个边长为 $3 n$ 的正三角形被分成了 $9 n^2$ 个单位正三角形, 每个单位正三角形被染为红、黄、蓝三种颜色之一,满足每种颜色恰好出现 $3 n^2$ 次。称由三个单位正三角形组成的梯形为"标准梯形"。如果一个标准梯形中的三个小三角形染为三种不同的颜色,则称它为"多彩梯形". 求多彩梯形个数的最大值.
称一个正整数为好数,如果可以将其十进制表示划分为至少 5 段,使得每段至少有一个非零数码,且将每段视作一个正整数(忽略开头的所有零)后,可将这些正整数分为两组,满足每组内按照适当顺序排列后形成等比数列(若某组由 1 或 2 个正整数构成,也视为等比数列)。例如 20240327 为好数,这是因为将其划分为 $2|02| 403|2| 7$ 后, $2|02| 2$ 与 $403 \mid 7$ 形成两组等比数列。
若整数 $a>1, m>2$ 使 $p=1+a+a^2+\cdots+a^m$ 为质数, 求证: $\frac{10^{p-1}-1}{p}$ 为好数。
设整数 $n \geq 3$. 设 $\frac{1}{2} n(n-1)$ 个非负实数 $a_{i, j}(1 \leq i < j \leq n)$ 满足对任意 $1 \leq i < j < k \leq n$, 均有 $a_{i, j}+a_{j, k} \leq a_{i, k}$. 求证:
$$
\left[\frac{n^2}{4}\right] \sum_{1 \leq i < j \leq n} a_{i, j}^4 \geq\left(\sum_{1 \leq i < j \leq n} a_{i, j}^2\right)^2 .
$$
给定等腰三角形 $A B C$, 其中 $A B=A C$. 动点 $D$ 满足 $A D \| B C, B D>C D$.动点 $E$ 在 $\triangle A B C$ 外接圆不含 $A$ 的弧 $B C$ 上, 满足 $E B < E C$. 射线 $B C$ 上的点 $F$ 满足 $\angle A D E=\angle D F E$. 设射线 $F D$ 交射线 $B A$ 于点 $X$, 射线 $F D$ 交射线 $C A$ 于点 $Y$. 求证: $\angle X E Y$ 为定值.
设复系数多项式 $P(z)=a_n z^n+\cdots+a_1 z+a_0\left(a_n \neq 0\right)$, 满足当 $|z|=$ 1 时 $|P(z)| \leq 1$. 求证: 对任意 $0 \leq k \leq n-1$, 均有 $\left|a_k\right| \leq 1-\left|a_n\right|^2$.
记 $N=10^{2024}$. 设 $S$ 是平面直角坐标系中边平行于坐标轴、边长为 $N$ 的正方形, 其内部有 $N$ 个横坐标互不相同的点 $P_1, P_2, \cdots, P_N$, 满足任两点连线斜率的绝对值不超过 1 . 求证:存在直线 $l$, 使得其中至少有 2024 个点与 $l$ 的距离不超过 1 .