单选题 （共 15 题 ），每题只有一个选项正确
方程 $2^{\log _3 x}=\frac{1}{4}$ 的解是
$\text{A.}$ $x=\frac{1}{9}$
$\text{B.}$ $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{C.}$ $x=\sqrt{3}$
$\text{D.}$ ${x}=9$
把复数 $1+i$ 对应的向量按顺时针方向旋转 $\frac{2 \pi}{3}$ 所得到的向量对应的复数是
$\text{A.}$ $\frac{1-\sqrt{3}}{2}+\frac{-1+\sqrt{3}}{2}i$
$\text{B.}$ $\frac{-1+\sqrt{3}}{2}+\frac{-1-\sqrt{3}}{2}i$
$\text{C.}$ $\frac{-1+\sqrt{3}}{2}+\frac{1-\sqrt{3}}{2} i$
$\text{D.}$ $\frac{1-\sqrt{3}}{2}+\frac{-1-\sqrt{3}}{2} i$
如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是 S , 那么圆柱的体积等于
$\text{A.}$ $\frac{S}{2} \sqrt{S}$
$\text{B.}$ $\frac{S}{2} \sqrt{\frac{S}{\pi}}$
$\text{C.}$ $\frac{S}{4} \sqrt{S}$
$\text{D.}$ $\frac{S}{4} \sqrt{\frac{S}{\pi}}$
方程 $\sin 2 x=\sin x$ 在区间 $(0,2 \pi)$ 内的解的个数是
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知如图是函数 $\mathrm{y}=2 \sin \left(\omega_{\mathrm{x}}+\phi\right)\left(|\phi| < \frac{\pi}{2}\right)$ 的图象, 那么
$\text{A.}$ $\omega=\frac{10}{11}, \phi=\frac{\pi}{6} $
$\text{B.}$ $\omega=\frac{10}{11}, \phi=-\frac{\pi}{6} $
$\text{C.}$ $\omega=2, \phi=\frac{\pi}{6} $
$\text{D.}$ $\omega=2, \phi=-\frac{\pi}{6} $
函数 $y=\frac{|\sin x|}{\sin x}+\frac{\cos x}{|\cos x|}+\frac{|\tan x|}{\tan x}+\frac{\cot x}{|\cot x|}$ 的值域是
$\text{A.}$ $\{-2,4\}$
$\text{B.}$ $\{-2,0,4\}$
$\text{C.}$ $\{-2,0,2,4\}$
$\text{D.}$ $\{-4,-2,0,4\}$
如果直线 $y=a x+2$ 与直线 $y=3 x-b$ 关于直线 $y=x$ 对称，那么
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{3}, b=6$
$\text{B.}$ $a=\frac{1}{3}, b=-6$
$\text{C.}$ $a=3, b=-2$
$\text{D.}$ $a=3, b=6$
极坐标方程 $4 \sin \theta=5 \rho$ 表示的曲线是
$\text{A.}$ 圆
$\text{B.}$ 椭圆
$\text{C.}$ 双曲线的一支
$\text{D.}$ 抛物线
设全集 $I=\{(x, y) \mid x, y \in R\}$, 集合 $M=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{y-3}{x-2}=1\right.\right\}, N=(x, y) \mid y \neq x+1$. 那么 $\bar{M} \cup \bar{N}$ 等于
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\{(2,3)\}$
$\text{C.}$ $(2,3)$
$\text{D.}$ $\{(x, y) \mid y=x+1\}$
若实数 $x 、 y$ 满足 $(x+2)^2+y^2=3$, 则 $\frac{y}{x}$ 的最大值为
$\text{A.}$ $\sqrt{3}$
$\text{B.}$ $-\sqrt{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{D.}$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
如图, 正三棱锥 $S A B C$ 的侧棱与底面边长相等, 如果 $E 、 F$ 分别为 $S C 、 A B$ 的中点, 那么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于
$\text{A.}$ $90^{\circ}$
$\text{B.}$ $60^{\circ}$
$\text{C.}$ $45^{\circ}$
$\text{D.}$ $30^{\circ}$
已知 $h>0$. 设命题甲为: 两个实数 $a, b$ 满足 $|a-b| < 2 h$; 命题乙为: 两个实数 $a, b$ 满足 $\mid a - 1 \mid < {h}$ 且 $|\mathrm{b}-1| < {h}$. 那么
$\text{A.}$ 甲是乙的充分条件, 但不是乙的必要条件
$\text{B.}$ 甲是乙的必要条件, 但不是乙的充分条件
$\text{C.}$ 甲是乙的充分条件
$\text{D.}$ 甲不是乙的充分条件, 也不是乙的必要条件
A, B, C, D, E 五人并排站成一排, 如果 B 必须站在 A 的右边 (A, B 可以不相邻), 那么不同的排法共有
$\text{A.}$ 24 种
$\text{B.}$ 60 种
$\text{C.}$ 90 种
$\text{D.}$ 120 种
以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有
$\text{A.}$ 70 个
$\text{B.}$ 64 个
$\text{C.}$ 58 个
$\text{D.}$ 52 个
设函数 $\mathrm{y}=\operatorname{arctg} \mathrm{x}$ 的图象沿 x 轴正方向平移 2 个单位所得到的图象为 C . 又设图象 $C^{\prime}$ 与 $C$ 关于原点对称, 那么 $C^{\prime}$ 所对应的函数是
$\text{A.}$ $y=-{arctg}(x-2)$
$\text{B.}$ $y={arctg}(x-2)$
$\text{C.}$ $y=-{arctg}(x+2)$
$\text{D.}$ $y={arctg}(x+2)$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
双曲线 $\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1$ 的准线方程是
$(\mathrm{x}-1)-(\mathrm{x}-1)^2+(\mathrm{x}-1)^3-(\mathrm{x}-1)^4+(\mathrm{x}-1)^5$ 的展开式中, $\mathrm{x}^2$ 的系数等于
已知 $a_n$ 是公差不为零的等差数列, 如果 $s_n$ 是 $a_n$ 的前 $n$ 项的和, 那么$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n a_n}{s_n} $ 等于
函数 $y=\sin x \cos x+\sin x+\cos x$ 的最大值是
如图, 三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中, 若 $E 、 F$ 分别为 $A B 、 A C$ 的中点, 平面 $\mathrm{EB}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{~F}$ 将三棱柱分成体积为 $V_1 、 V_2$ 的两部分, 那么 $V_1: V_2=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
有四个数, 其中前三个数成等差数列, 后三个数成等比数列, 并且第一个数与第四个数的和是 16 , 第二个数与第三个数的和是 12 , 求这四个数.
已知 $\sin a+\sin \beta=\frac{1}{4}, \cos a+\cos \beta=\frac{1}{3}$, 求 $ \tan(a+\beta)$ 的值.
如图, 在三棱锥 $S A B C$ 中, $S A \perp$ 底面 $A B C, A B \perp B C . D E$ 垂直平分 $S C$, 且分别交 $A C 、 S C$ 于 $D$ 、
E. 又 $S A=A B, S B=B C$. 求以 $B D$ 为棱, 以 $B D E$ 与 $B D C$ 为面的二面角的度数.
设 a 为实数, 在复数集 C 中解方程: $\mathrm{z}^2+2|\mathrm{z}|=\mathrm{a}$.
设椭圆的中心是坐标原点, 长轴在 x 轴上, 离心率 $\mathrm{e}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, 已知点 $\mathrm{P}\left(0, \frac{3}{2}\right)$ 到这个椭圆上的点最远距离是 $\sqrt{7}$. 求这个椭圆的方程, 并求椭圆上到点 P 的距离等于 $\sqrt{7}$ 的点的坐标.
$f(x)=1 g \frac{1+2^x+\cdots+(n-1)^x+n^x a}{n}$, 其中 $a$ 是实数, $n$ 是任意自然数且 $n \geqslant 2$.
(I) 如果 $f(x)$ 当 $x \in(-\infty, 1]$ 时有意义, 求 $a$ 的取值范围;
(II) 如果 $a \in(0,1]$, 证明 $2 \mathrm{f}(\mathrm{x}) < \mathrm{f}(2 \mathrm{x})$ 当 $\mathrm{x} \neq 0$ 时成立.