单选题 （共 7 题 ），每题只有一个选项正确
设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 其中 $\mu$ 已知, $\sigma^2$ 未知. $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自总体 $X$ 的简单随机样本, 则下列样本函数中不是统计量的是
$\text{A.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$
$\text{B.}$ $\max _{1 \leq \leqslant n}\left\{X_i\right\}$
$\text{C.}$ $\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2$
$\text{D.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$
设总体 $X$ 与 $Y$ 相互独立且都服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right), \bar{X}, \bar{Y}$ 是分别来自总体 $X, Y$, 容量都为 $n$的样本的样本均值, 则当 $n$ 固定时, 概率 $P\{|\bar{X}-\bar{Y}|>\sigma\}$ 的值随 $\sigma$ 的增大而
$\text{A.}$ 单调增大
$\text{B.}$ 单调减小
$\text{C.}$ 保持不变
$\text{D.}$ 增减不定
设总体 $X \sim N\left(\mu_1, 4\right), Y \sim N\left(\mu_2, 5\right), X$ 与 $Y$ 相互独立, $X_1, \cdots, X_8$ 和 $Y_1, \cdots, Y_{10}$ 是分别来自总体 $X$ 和 $Y$ 的两个样本, $S_X^2$ 与 $S_Y^2$ 分别为两个样本的样本方差, 则
$\text{A.}$ $\frac{2 S_X^2}{5 S_Y^2} \sim F(7,9)$
$\text{B.}$ $\frac{5 S_X^2}{2 S_Y^2} \sim F(7,9)$
$\text{C.}$ $\frac{4 S_X^2}{5 S_Y^2} \sim F(7,9)$
$\text{D.}$ $\frac{5 S_X^2}{4 S_Y^2} \sim F(7,9)$
设 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 为来自总体 $N\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 的简单随机样本, 则统计量 $Y=\frac{X_1-X_2}{\sqrt{X_3^2+X_4^2}}$ 服从
$\text{A.}$ $N(0,1)$
$\text{B.}$ $\chi^2(2)$
$\text{C.}$ $t(2)$
$\text{D.}$ $F(2,2)$
设总体 $X$ 的概率分布为 $P\{X=1\}=\frac{1-\theta}{2}, P\{X=2\}=P\{X=3\}=\frac{1+\theta}{4}$. 利用来自总体 $X$ 的样本值 $1,3,2,2,1,3,1,2$, 可得 $\theta$ 的最大似然估计值为
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{8}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{5}{8}$
一批零件的长度服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 其中 $\mu, \sigma^2$ 均未知. 现从中随机抽取 16 个零件, 测得样本均值 $\bar{x}=20 \mathrm{~cm}$, 样本标准差 $s=1 \mathrm{~cm}$, 则 $\mu$ 的置信水平为 0.90 的置信区间为
$\text{A.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.05}(16), 20+\frac{1}{4} t_{0.05}(16)\right)$
$\text{B.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.1}(16), 20+\frac{1}{4} t_{0.1}(16)\right)$
$\text{C.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.05}(15), 20+\frac{1}{4} t_{0.05}(15)\right)$
$\text{D.}$ $\left(20-\frac{1}{4} t_{0.1}(15), 20+\frac{1}{4} t_{0.1}(15)\right)$
一) 在假设检验中, 显著性水平 $\alpha$ 的意义是
$\text{A.}$ 原假设 $H_0$ 成立, 经检验被拒绝的概率
$\text{B.}$ 原假设 $H_0$ 成立, 经检验被接受的概率
$\text{C.}$ 原假设 $H_0$ 不成立, 经检验被拒绝的概率
$\text{D.}$ 原假设 $H_0$ 不成立, 经检验被接受的概率
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-x \mid}(-\infty < x < +\infty), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, 其样本方差为 $S^2$, 则 $E\left(S^2\right)=$
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}(1+\theta) x^\theta, & 0 < x < 1 ， \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $\theta>-1$ 是未知参数, 设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, 求 $\theta$ 的矩估计量和最大似然估计量.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{6 x}{\theta^3}(\theta-x), & 0 < x < \theta, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自总体 $X$ 的简单随机样本. 求:
(1) $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}$;
(2) $\hat{\theta}$ 的方差 $D \hat{\theta}$.
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2 x}{\alpha^2}, & 0 \leqslant x \leqslant \alpha, \\ 0, & \text { 其他, }\end{array}\right.$ 其中 $\alpha>1$ 未知, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本.
(1) 求 $p=P\{0 < X < \sqrt{\alpha}\}$;
(2) 求 $p$ 的最大似然估计量 $\hat{p}$.6.11 解 (1) $p=P\{0 < X < \sqrt{\alpha}\}=\int_0^{\sqrt{\alpha}} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{\alpha}$.
(2) 当 $0 \leqslant x_1 \leqslant \alpha, 0 \leqslant x_2 \leqslant \alpha, \cdots, 0 \leqslant x_n \leqslant \alpha$ 时, 似然函数为
$$
L(\alpha)=f\left(x_1\right) f\left(x_2\right) \cdots f\left(x_n\right)=\frac{2^n}{\alpha^{2 n}} x_1 x_2 \cdots x_n,
$$
显然 $L(\alpha)$ 关于 $\alpha$ 单调减少, 且 $\alpha \geqslant \max \left\{x_1, x_2, \cdots, x_n\right\}$, 则 $\alpha$ 的最大似然估计量为
$$
\hat{\alpha}=\max \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\} \text {. }
$$
又由 (1) 知 $p=\frac{1}{\alpha}$ 关于 $\alpha$ 是单调函数, 根据最大似然估计的不变性, 有 $p$ 的最大似然估计量为
$$
\hat{p}=\frac{1}{\max \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\}} .
$$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的一个简单随机样本, 记
$$
\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, T=\bar{X}^2-\frac{1}{n} S^2 .
$$
（1）证明： $T$ 是 $\mu^2$ 的无偏估计量.
（2）求 $E T$.