单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关, $\beta_1$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示, $\beta_2$ 不能 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 由线性表示, 则对于任意常数 $\mathrm{k}$ 必有
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \mathrm{k} \beta_1+\beta_2$ 线性无关
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \mathrm{k} \beta_1+\beta_2$ 线性相关
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1+k \beta_2$ 线性无关
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1+k \beta_2$ 线性相关
设向量组A: $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{\mathrm{r}}$ 可由向量组B: $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_{\mathrm{s}}$ 线性表示, 则
$\text{A.}$ 当 $r < s$ 时，B组必线性相关
$\text{B.}$ 当 $r>s$ 时，B组必线性相关
$\text{C.}$ 当 $r < s$ 时, A组必线性相关
$\text{D.}$ 当 $r>s$ 时, A组必线性相关
设 $\alpha_1=(1,-1,2,4)^{\mathrm{T}}, \alpha_2=(0,3,1,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_3=(3,0,7,14)^{\mathrm{T}}, \alpha_4=(1,-2,2,0)^{\mathrm{T}}$ ， $\alpha_5=(2,1,5,10)^{\mathrm{T}}$, 则该向量组的最大无关组是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_5$
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4, \alpha_5$
向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 线性无关的充分必要条件是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{\mathrm{r}}$ 均不为零向量
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{\mathrm{r}}$ 中有一部分向量组线性无关
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{\mathrm{r}}$ 中任意两个向量的分量不对应成比例
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{\mathrm{r}}$ 中任意一个向量都不能由其余 $r-1$ 个向量线性表示
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设三阶矩阵 $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 4\end{array}\right)$, 三维列向量 $\alpha=(\mathrm{a}, 1,1)^{\mathrm{T}}$ 已知 $\mathrm{A} \alpha$ 与 $\alpha$ 线性相关, 则 $\mathrm{a}=$
已知向量组 $\alpha_1=(1,2,3,4)^{\mathrm{T}}, \alpha_2=(2,3,4,5)^{\mathrm{T}}, \alpha_3=(3,4,5,6)^{\mathrm{T}}, \alpha_4=(4,5,6,7)^{\mathrm{T}}$, 则该向量组的秩是
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\alpha_1=(1,1,1)^{\mathrm{T}}, \alpha_2=(2,1,0)^{\mathrm{T}}, \alpha_3=(3,4,5)^{\mathrm{T}}$,
计算 $\alpha_1-\alpha_2, 3 \alpha_1+2 \alpha_2-\alpha_3$
已知三维向量 $\alpha$ 满足 $2 \alpha+(1,2,4)^{\mathrm{T}}-\frac{1}{2}(0,1,-1)^{\mathrm{T}}=(5,0,2)^{\mathrm{T}}$ 求 $\alpha$.
已知向量组 A: $\alpha_1=(2,1,0,1)^{\mathrm{T}}, \alpha_2=(0,1,2,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_3=(-2,1,2,1)^{\mathrm{T}}, \alpha_4=(1,3,1,2)^{\mathrm{T}}$ 为 $\mathbb{R}^4$ 的一组基, 试求向量 $\beta=(1,1,1,1)^{\mathrm{T}}$ 在 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 下的坐标.
讨论下列向量组的线性相关性 $(3,-1,2,-1)^{\mathrm{T}}$
1. $\alpha_1=(1,0,1)^{\mathrm{T}}, \alpha_2=(\mathrm{x}, 0,1)^{\mathrm{T}}, \alpha_3=(0,1,1)^{\mathrm{T}}$
2. $\alpha_1=(1,1,3,1)^{\mathrm{T}}, \alpha_2=(4,1,-3,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_3=(1,0,-1,2)^{\mathrm{T}}$
求下列矩阵的列向量组的秩及一个罖大无关组
$$
\mathrm{A}=\left(\begin{array}{rrrrr}
1 & 1 & 2 & 3 & 2 \\
-2 & -2 & -1 & 3 & -4 \\
-1 & -1 & 0 & 3 & -2 \\
0 & -3 & 2 & 3 & -3 \\
2 & 3 & 3 & 4 & 5
\end{array}\right)
$$
验证 $\alpha_1=(1,-1,0)^{\mathrm{T}}, \alpha_2=(2,1,3)^{\mathrm{T}}, \alpha_3=(3,1,2)^{\mathrm{T}}$ 为 $\mathbb{R}^3$ 的一个基, 并求 ${ }^\alpha=(1,1,1)^{\mathrm{T}}$ 在这组基下的坐标.