已知 $A_m=\left(\begin{array}{cccc}a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1, m} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2, m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m, 1} & a_{m, 2} & \cdots & a_{m, m}\end{array}\right)(m \geqslant 2)$ 是 $m^2$ 个正整数组成的 $m$ 行 $m$ 列的数表, 当 $1 \leqslant \mathrm{i} < s \leqslant m, 1 \leqslant j < t \leqslant m$ 时, 记 $d\left(a_{i, j}, a_{s, t}\right)=\left|a_{i, j}-a_{s, j}\right|+\left|a_{s, j}-a_{s, t}\right|$. 设 $n$ $\in \mathrm{N}^*$, 若 $A_m$ 满足如下两个性质:
①$a_{i, j} \in\{1,2,3 ; \cdots, n\}(\mathrm{i}=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, m)$;
②对任意 $k \in\{1,2,3, \cdots, n\}$, 存在 $\mathrm{i} \in\{1,2, \cdots, m\}, j \in\{1,2, \cdots, m\}$, 使得 $a_{i, j}=k$, 则称 $A_m$ 为 $\Gamma_n$ 数表.
(1) 判断 $A_3=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\right)$ 是否为 $\Gamma_3$ 数表, 并求 $d\left(a_{1,1}, a_{2,2}\right)+d\left(a_{2,2}, a_{3,3}\right)$ 的值;
(2) 若 $\Gamma_2$ 数表 $A_4$ 满足 $d\left(a_{i, j}, a_{i+1, j+1}\right)=1(\mathrm{i}=1,2,3 ; j=1,2,3)$, 求 $A_4$ 中各数之和的最小值;
(3) 证明: 对任意 $\Gamma_4$ 数表 $A_{10}$, 存在 $1 \leqslant \mathrm{i} < s \leqslant 10,1 \leqslant j < t \leqslant 10$, 使得 $d\left(a_{i, j}, a_{s, t}\right)=0$.

同余定理是数论中的重要内容. 同余的定义为: 设 $a, b \in Z, m \in N^*$ 且 $m>1$. 若 $m \mid a-b$ 则称 $a$ 与 $b$ 关于模 $m$ 同余, 记作 $a \equiv b(\bmod m)$ (“|”为整除符号).
(1) 解同余方程 $x^2-x \equiv 0(\bmod 3)$;
(2) 设 (1) 中方程的所有正根构成数列 $\left\{a_n\right\}$, 其中 $a_1 < a_2 < a_3 < \cdots < a_n$.
①若 $b_n=a_{n+1}-a_n\left(n \in N^*\right)$, 数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 求 $S_{2 n 24}$ :
② 若 $c_n=\tan a_{2 n+1} \cdot \tan a_{2 n-1}\left(n \in N^*\right)$, 求数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.