解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $0 < k < 1$, 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=a$, 证明:
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_n+k a_{n-1}+\cdots+k^{n-1} a_1+k^n a_0\right)=\frac{a}{1-k} .
$$
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶连续可微, 且存在 $M>0$, 使得 $\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq M, x \in[0,1]$. 又设 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内可取到最大值. 证明: $\left|f^{\prime}(0)\right|+\left|f^{\prime}(1)\right| \leq M$.
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛, 证明函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^x}$在 $x \in[0,+\infty)$ 上一致收敛
设 $f(x)$ 是 $[0,+\infty)$ 上的可导函数，且导函数 $f^{\prime}$ 处处连续，假设 $\int_0^{+\infty} f^2(x) d x$ 与 $\int_0^{+\infty}\left[f^{\prime}(x)\right]^2 d x$ 均收敛，
证明 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$.
设 $f(x)$ 是 $[a, b]$ 上的连续函数，且 $f(x)>0 ， x \in[a, b]$.证明 $\lim _{p \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{b-a} \int_a^b f^p(x) d x\right)^{\frac{1}{p}}=\exp \left\{\frac{1}{b-a} \int_a^b \ln f(x) d x\right\}$其中 $\exp (t)=e^t$ 表示指数函数
设 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 为n个非零实数，证明n维欧氏空间 $R^n$ 上定义的 $n$ 元函数 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2$在条件 $\frac{x_1}{a_1}+\frac{x_2}{a_2}+\cdots+\frac{x_n}{a_n}=1$ 的最小值存在，并求解。
判断广义二重积分 $\iint \frac{x^2-y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2} d x d y$ 的敛散性，并结出理由。 $\left\{\left(x y, \in R^2 \mid x \geqslant 1, y \geqslant 1\right\}\right.$
计算曲面积分$
\iint_{\Sigma}\left(x+y^2+z^2\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y . $
其中 $\Sigma$ 为旋转抛物面 $z=x^2+y^2$ 介于 $z=0$ 和 $z=2$ 之间的部分的下侧.