单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A, B$ 均为 $n$ 阶矩阵, 则必有
$\text{A.}$ $|A+B|=|A|+|B|$
$\text{B.}$ $A B=B A$
$\text{C.}$ $|A B|=|B A|$
$\text{D.}$ $(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$
设四阶方阵 $A$ 的行列式 $|A|=0$, 则 $A$ 中
$\text{A.}$ 必有一列元素全为零
$\text{B.}$ 必有两列元素对应成比例
$\text{C.}$ 任意一列向量是其余列向量的线性组合
$\text{D.}$ 必有一列向量是其余向量的线性组合
设 $\boldsymbol{\beta}_1 、 \boldsymbol{\beta}_2$ 是非齐次线性方程组 $A X=\boldsymbol{b}$ 的两个不同解, $\boldsymbol{\alpha}_1 、 \boldsymbol{\alpha}_2$ 是对应的齐次线性 方程组 $A X=\mathbf{0}$ 的基础解系, $k_1 、 k_2$ 为任意常数, 则方程组 $A X=\boldsymbol{b}$ 的通解为
$\text{A.}$ $ \boldsymbol{x}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2\right)+\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\beta}_1-\boldsymbol{\beta}_2\right) $
$\text{B.}$ $ \boldsymbol{x}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2\right)+\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2\right) $
$\text{C.}$ $\boldsymbol{x}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\beta}_1-\boldsymbol{\beta}_2\right)+\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\beta}_1-\boldsymbol{\beta}_2\right) $
$\text{D.}$ $ \boldsymbol{x}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2\right)+\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2\right)$
下列个项中是 4 阶行列式一项的为
$\text{A.}$ $-a_{21} a_{13} a_{34} a_{42}$
$\text{B.}$ $-a_{11} a_{21} a_{33} a_{42}$
$\text{C.}$ $-a_{31} a_{12} a_{13} a_{44}$
$\text{D.}$ $-a_{14} a_{21} a_{32} a_{41}$
$n$ 阶方阵 $A$ 能与对角阵相似的充分必要条件是
$\text{A.}$ $A$ 是实对称矩阵
$\text{B.}$ $A$ 的 $n$ 个特征值互不相等
$\text{C.}$ $A$ 具有 $n$ 个线性无关的特征向量
$\text{D.}$ $ A$ 的特征向量两两正交
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $D_4=\left|\begin{array}{llll}2 & 3 & 6 & 5 \\ 7 & 9 & 6 & 2 \\ 4 & 8 & 6 & 3 \\ 5 & 6 & 6 & 1\end{array}\right|$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式为 $A_{i j}$, 则 $A_{11}+A_{21}+A_{31}+A_{41}=$
排列 $135 \cdots(2 n-1) 2 n 2(n-1) \cdots 642$ 的逆序数为
设 $A=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]$, 且 $A^6=E, E$ 为 2 阶单位矩阵, 则 $A^{11}=$
设 3 阶方阵 $A$ 的特征值为 $1,2,3$, 而且 $B=A^2+A-2 E$, 则 $|B|=$
如果向量组 (1): $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_x$ 与向量组 (2): $\boldsymbol{\beta}_i, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_r$ 等价, 向量组 (1)线性 无关, 则 $s$ 与 $r$ 的大小关系是
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设矩阵 $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5\end{array}\right]$, 求 $\left(A^*\right)^{-1}$
设 $A=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1\end{array}\right], B$ 为 3 阶方阵, 且 $A B+E=A^2+B$, 求矩阵 $B$
已知 $A$ 相似于 $B$, 而且 $A=\left[\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ a & 1 & b \\ 1 & b & 1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$, 求 $a, b$
设 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,4,1,0)^T, \boldsymbol{\alpha}_2=(2,9,-1,-3)^T, \boldsymbol{\alpha}_3=(1,0,-3,-1)^T$, $\boldsymbol{\alpha}_4=(3,10,-7,-7)^T$, 求此向量组的秩和一个极大无关组, 并将其余向量用 该极大无关组表示。
问 $\lambda$ 为何值时, 线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+x_3=\lambda-2 \\ x_1+\lambda x_2+x_3=-1 \\ x_1+x_2+\lambda x_3=-1\end{array}\right.$ 有唯一解、无解、和有 无穷多解? 当方程有无穷多解时, 求其通解
证明题：
（1）设 $A$ 为 $n$ 阶对称方阵, $P$ 为 $n$ 阶可逆矩阵。证明: $A$ 与 $\left(P^{-1} A P\right)^T$ 具有相同的特征值。
（2）设 $n$ 维列向量 $x=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \cdots, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^T, H=E-2 \boldsymbol{x} \boldsymbol{x}^T$, 其中 $E$ 为 $n$ 阶单位阵,
证明:
①$H^2=E$
② $H^T=H$
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+3 x_2^2+3 x_3^2+4 x_2 x_3$, 利用正交变换法, 把二次型 $f$ 化为标准形, 并写出正交阵。