单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $Q=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 37 \\ 2 & 4 & t \\ 3 & 6 & 9\end{array}\right], P$ 为 3 阶非零矩阵, 且已知 $P Q=0$, 则
$\text{A.}$ $t=6$ 时 $P$ 的秩必为 1
$\text{B.}$ $t=6$ 时 $P$ 的秩必为 2
$\text{C.}$ $t \neq 6$ 时 $P$ 的秩必为 1
$\text{D.}$ $t \neq 6$ 时 $P$ 的秩必为 2
已知 $n$ 阶方阵 $A, B$ 和 $C$ 满足 $A B C=E$, 其中 $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵, 则 $B^{-1}= $.
$\text{A.}$ $A^{-1} C^{-1}$
$\text{B.}$ $A C$
$\text{C.}$ $C A$
$\text{D.}$ $C^{-1} A^{-1}$
设线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}k x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1+k x_2+x_3=0 \\ 2 x_1-x_2+x_3=0\end{array}\right.$ 有零解, 则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $k$ 必定为 0
$\text{B.}$ $k$ 必定为 1
$\text{C.}$ $k$ 为 0 或 1
$\text{D.}$ 这样的 $k$ 值不存在
若 $A$ 为 3 阶方阵, 且 $|A+2 E|=0,|2 A+E|=0,|3 A-4 E|=0$, 则 $|A|=$
$\text{A.}$ $8$
$\text{B.}$ $-8$
$\text{C.}$ $\frac{4}{3}$
$\text{D.}$ $-\frac{4}{3}$
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵, $R(A)=r < n$, 那么 $A$ 的 $n$ 个列向量中
$\text{A.}$ 任意 $r$ 个列向量线性无关
$\text{B.}$ 必有某 $r$ 个列向量线性无关
$\text{C.}$ 任意 $r$ 个列向量均构成极大线性无关组
$\text{D.}$ 任意 1 个列向量均可由其余 $n-1$ 个列向量线性表示
设 $P$ 为正交矩阵, 向量 $\alpha, \beta$ 的内积为 $(\alpha, \beta)=2$, 则 $(P \alpha, P \beta)=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{2}$
判断题 （共 6 题 ）
设 $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性表示, 但不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{m-1}$ 线性表示, 则向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 与向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{m-1}, \beta$ 等价.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
当齐次线性方程组有非零解时定有基础解系
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若 $n$ 阶行列式不等于零, 则它的所有 $n-1$ 阶子式可以都为零
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $A$ 为 $m \times n$ 阶矩阵, $B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, 则 $R(A) < R(A B)$.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
奇数阶反对称矩阵 $A$ 的行列式 $|A|=0$.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若存在正整数 $k$ 使 $A^k=O$, 则 $A$ 的特征值只能是 0 .
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关, 则当常数 $k$ 满足 （ ） 时, 向量组 $k \alpha_2-\alpha_1$, $\alpha_3-\alpha_2, \alpha_1-\alpha_3$ 线性无关.
已知 $A^3=E$, 则 $(2 A+E)^{-1}=$
已知 4 阶矩阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right), B=\left(\alpha_1+2 \alpha_2, \alpha_2+3 \alpha_3, \alpha_3+4 \alpha_4, \alpha_4+5 \alpha_1\right),|A|=3$, 则 $|B|=$
设 $A$ 为 3 阶方阵, 已知 $A$ 的两个特征值为 1,2 , 且 $\operatorname{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+a_{33}=0$, 则 $|A+E|=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算下列行列式的值.
$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
1+a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\
a_1 & 2+a_2 & a_3 & a_4 \\
a_1 & a_2 & 3+a_3 & a_4 \\
a_1 & a_2 & a_3 & 4+a_4
\end{array}\right|
$$
已知 3 阶方阵 $A$ 的逆矩阵为 $A^{-1}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3\end{array}\right)$, 试求伴随矩阵 $A^*$ 的逆矩阵.
试确定 $k$ 为何值时, 向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的秩为 2 ,
$$
\alpha_1=\left(\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
-1 \\
1
\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}
2 \\
0 \\
k \\
0
\end{array}\right) \alpha_3=\left(\begin{array}{c}
0 \\
-4 \\
5 \\
-2
\end{array}\right) .
$$
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}2-\lambda & 2 & -2 \\ 2 & 5-\lambda & -4 \\ -2 & -4 & 5-\lambda\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -\lambda-1\end{array}\right)$, 已知非齐次线性方程组 $A x=b$ 存在两个 不同的解.
(1) 求 $\lambda$;
(2) 求方程组 $A x=b$ 的通解.
设 $B=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right)$, 求 $B$ 的特征值和特征向量.
设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是一组 $n$ 维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是: 任一 $n$ 维向 量都可由它们线性表示.