单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A 、 B$ 互不相容, 且 $P(A)>0, P(B)>0$, 则必有
$\text{A.}$ $P(B \mid A)>0$
$\text{B.}$ $P(A \mid B)=P(A)$
$\text{C.}$ $P(A \mid B)=0$
$\text{D.}$ $P(A B)=P(A) P(B)$
将 3 粒黄豆随机地放入 4 个杯子, 则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（）
$\text{A.}$ $\frac{3}{32}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{8}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{16}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{8}$
$X \sim N\left(\mu, 4^2\right), Y \sim N\left(\mu, 5^2\right), p_1=P\{X \leq \mu-4\}, p_2=P\{Y \geq \mu+5\}$, 则
$\text{A.}$ 对任意实数 $\mu, p_1=p_2$
$\text{B.}$ 对任意实数 $\mu, p_1 < p_2$
$\text{C.}$ 只对 $\mu$ 的个别值, 才有 $p_1=p_2$
$\text{D.}$ 对任意实数 $\mu$, 都有 $p_1>p_2$
设随机变量 $X$ 的密度函数为 $f(x)$, 且 $f(-x)=f(x), F(x)$ 是 $X$ 的分布函数, 则对任 意 实数 $a$ 成立的是 ( )
$\text{A.}$ $F(-a)=1-\int_0^a f(x) d x$
$\text{B.}$ $F(-a)=\frac{1}{2}-\int_0^a f(x) d x$
$\text{C.}$ $F(-a)=F(a)$
$\text{D.}$ $F(-a)=2 F(a)-1$
已知 $X_1, X_2, \mathrm{~L}, X_{50}$ 为来自总体 $X: N(2,4)$ 的样本, 记 $\bar{X}=\frac{1}{50} \sum_{i=1}^{50} X_i$, 则 $\frac{1}{4} \sum_{i=1}^{50}\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ 服从分布为
$\text{A.}$ $N\left(2, \frac{4}{50}\right)$
$\text{B.}$ $N\left(\frac{2}{50}, 4\right)$
$\text{C.}$ $\chi^2(50)$
$\text{D.}$ $\chi^2(49)$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(A \cup B)=0.4$, 则 $P(A \bar{B})=$
设随机变量 $X$ 有密度 $f(x)=\left\{\begin{array}{lr}4 x^3, & 0 < x < 1 \\ 0 & \text { 其它 }\end{array}\right.$, 则使 $P(X>a)=P(X < a)$ 的常数 $a=$
设随机变量 $X \sim N\left(2, \sigma^2\right)$, 若 $P\{0 < X < 4\}=0.3$, 则 $P\{X < 0\}=$
设 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2+2 x-1}$, 则 $E X=$
设总体 $X \sim N(\mu, 9)$, 已知样本容量为 25 , 样本均值 $\bar{x}=\boldsymbol{m}$; 记 $u_{0.1}=a, u_{0.05}=b ; t_{0.1}(24)=c, t_{0.1}(25)=d ; t_{0.05}(24)=l, t_{0.05}(25)=k$,
则 $\mu$ 的置信度为 $0.9$ 的置信区间为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的 $25 \%, 35 \%, 40 \%$, 各车间产品的次品率分别为 $5 \%, 4 \%, 2 \%$,
求:
(1)全厂产品的次品率
(2) 若任取一件产品发现是次品,此次品是甲车间生产的概率是多少?
设 $X$ 与 $Y$ 两个相互独立的随机变量, 其概率密度分别为
$$
f_X(x)=\left\{\begin{array}{rr}
1, & 0 \leq x \leq 1 ; \\
0, & \text { 其它. }
\end{array} \quad f_Y(y)= \begin{cases}e^{-y}, & y>0 ; \\
0, & y \leq 0 .\end{cases}\right.
$$
求: 随机变量 $Z=X+Y$ 的概率密度函数.
设随机变量 $X$ 服从参数 $\lambda=\mathbf{2}$ 的指数分布, 证明: $Y=\mathbf{1}-\boldsymbol{e}^{-\mathbf{2 X}}$ 服从 $\left.\mathbf{( 0 , 1}\right)$ 上的 均匀分布。
设某次考试考生成绩服从正态分布, 从中随机抽取 36 位考生的成绩, 算得 $\overline{\boldsymbol{X}}=\mathbf{6 6 . 5}$, 样本标准差为 15 , 问在 $\boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0 . 0 5}$ 时, 是否可以认为这次考试全体考生的平均 成绩为 70 分?
在抽样检查某种产品的质量时, 如果发现次品多于 10 个, 则拒绝接受这批产品。 设产品的次品率为 $10 \%$, 问至少应抽查多少个产品进行检查, 才能保证拒绝这批产品的概 率达到 $0.9 ?(\boldsymbol{\Phi} \mathbf{1 . 2 9})=\mathbf{0 . 9})$
设 $(X, Y)$ 服从二维正态分布, $X \sim N(1,9), Y \sim N(0,16), \rho_{X Y}=-\frac{1}{2}$, 设 $Z=\frac{X}{3}+\frac{Y}{2}$, 求(1) $E Z, D Z \quad$ (2) $\rho_{X Z} \quad$ (3) $X$ 与 $Z$ 是否相关?