本试卷总分150分,考试时间120分钟。
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷由kmath.cn自动生成。
学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________
填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \cos x}{x^2}$
求曲线 $y-x+e^y=0$ 在点 $x=1$ 处的切线方程
计算不定积分 $\int \frac{\ln \ln x}{x} d x$
求曲线 $y=\frac{1+x}{1-e^{-x}}$ 的渐近线个数
求 $f(x)=\left|x e^{-x}\right|$ 的导数
已知 $f(x)$ 可导， $y=f\left(e^{x^2}\right)$ ，求 $d y$
在区间 $[0,1]$ 上, $f^{\prime \prime}(x)>0$ ，写出 $f^{\prime}(0), f^{\prime}(1), f(1)-f(0)$ 的大小关系
已知 $f(x)$ 连续， $f(x)=x^2-\int_0^2 f(x) d x$ ，求 $f(x)$
已知 $x=0$ 是 $f(x)=\frac{x+b \ln (1+x)}{a x-\sin x}$ 的可去间断点，求 $a, b$ 的取值范围
设函数 $y=f(x)$ 的参数方程为 $x=e^{-t}-1, y=t^2$ ，当 $-1 < x < 0$ 时，判断 $y=f(x)$ 的单调性和凹凸性
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^a \ln ^b x$, 其中 $a>0, b>0$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \sin \cos x-\sin \sin 1}{\cos \cos \cos x-\cos \cos 1}$
$p^2>4 q, q \neq 0, y=\frac{1}{x^2+p x+q} \text {, 求 } y^{(n)}$
计算不定积分 $\int \frac{1}{x^2-1} \sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}} d x$
(1) 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，证明: $\int_a^b f(x) d x=\int_a^b f(a+b-x) d x$
(2) 在 (1) 的条件下，若 $x=\frac{a+b}{2}$ 为 $f(x)$ 的对称轴
证明: $\int_a^b x f(x) d x=\frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) d x$
计算由摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)$ 相应于 $0 \leq t \leq 2 \pi$ 的一拱与直线 $y=0$ 所围成的图形分别绕 $x$ 轴、 $y$ 轴旋转而成的旋转体体积
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续， $(0,1)$ 内可导， $\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 1, f(0)=f(1)$证明: $\forall x_1, x_2 \in[0,1],\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right| \leq \frac{1}{2}$