单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\int_x^{x^2}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t \cdot \frac{1}{\sqrt{t}} \mathrm{~d} t, x>1$, 则当 $n \rightarrow \infty$ 时, $\frac{1}{f(n)}$ 是 $\frac{1}{n}$ 的
$\text{A.}$ 等价无穷小量.
$\text{B.}$ 同阶非等价无穷小量.
$\text{C.}$ 高阶无穷小量.
$\text{D.}$ 低阶无穷小量.
设函数 $f(x)$ 具有三阶导数, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-1}{\mathbf{e}^{x^3}-1}=-\frac{1}{2}$, 则
$\text{A.}$ $(0,1)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
$\text{B.}$ $x=0$ 是函数 $f(x)$ 的极大值点.
$\text{C.}$ $x=0$ 是函数 $f(x)$ 的极小值点.
$\text{D.}$ 以上结论都不正确.
当 $0 < x \leqslant \frac{\pi}{4}$ 时,下列不等式成立的是
$\text{A.}$ $\int_0^x \mathrm{e}^t \cos t \mathrm{~d} t>x, \int_0^x \mathrm{e}^t(1-\sin t) \mathrm{d} t < x$.
$\text{B.}$ $\int_0^x \mathrm{e}^t \cos t \mathrm{~d} t < x, \int_0^x \mathrm{e}^t(1-\sin t) \mathrm{d} t>x$.
$\text{C.}$ $\int_0^x \mathrm{e}^t \cos t \mathrm{~d} t>x, \int_0^x \mathrm{e}^t(1-\sin t) \mathrm{d} t>x$.
$\text{D.}$ $\int_0^x \mathrm{e}^t \cos t \mathrm{~d} t < x, \int_0^x \mathrm{e}^t(1-\sin t) \mathrm{d} t < x$.
设 $a, b, A, B$ 均为常数, 则微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y=x+\cos 2 x$ 的特解可设为
$\text{A.}$ $a x+b+A x \cos 2 x$.
$\text{B.}$ $a x+b+x(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$.
$\text{C.}$ $a x+b+A \sin 2 x$.
$\text{D.}$ $x(a x+b+A \cos 2 x+B \sin 2 x)$.
下列反常积分中, 收敛的是
$\text{A.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+x}} \mathrm{~d} x$.
$\text{B.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3(x+1)^3}} \mathrm{~d} x$.
$\text{C.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x^3+x^2}} \mathrm{~d} x$.
$\text{D.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3+x}} \mathrm{~d} x$.
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续, $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=4$, 则 $\int_0^1\left[f(x) \int_x^1 f(t) \mathrm{d} t\right] \mathrm{d} x=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ 16
若函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处连续, 且 $\lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\ y=1}} \frac{f(x, y)-2 x+4 y-1}{\sqrt{x^2+y^2-2 x-2 y+3}-1}=2$, 则
$\text{A.}$ $f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处不存在偏导数.
$\text{B.}$ $f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处存在偏导数但不可微.
$\text{C.}$ $f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处可微, 且 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(1.1)}=2 \mathrm{~d} x-4 \mathrm{~d} y$.
$\text{D.}$ $f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处可微, 且 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(1.1)}=-2 \mathrm{~d} x+4 \mathrm{~d} y$.
设 $\boldsymbol{A}$ 是秩为 $r$ 的 $n$ 阶矩阵, $\boldsymbol{E}_r$ 为 $r$ 阶单位矩阵, $\boldsymbol{O}$ 为零矩阵, 则下列命题不正确的是
$\text{A.}$ 存在秩为 $n-r$ 的 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{B}$ 使得 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$.
$\text{B.}$ 存在秩为 $n-r$ 的 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{C}$ 使得 $\boldsymbol{C A}=\boldsymbol{O}$.
$\text{C.}$ 存在秩为 $r$ 的 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 使得 $\boldsymbol{C A B}=\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{E}_r & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ 存在秩为 $n-r$ 的 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 使得 $\boldsymbol{C A B}=\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{E} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$.
设 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 3 维实列向量, 且 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}=1, \boldsymbol{B}=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{A}$ 为 3 阶不可逆矩阵, 且 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}-\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$, 则 $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}|=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 8
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}-3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 2\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & k\end{array}\right)$. 若 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 合同但不相似, 则常数 $k$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $k>0$ 且 $k \neq 2$.
$\text{B.}$ $k < 0$ 且 $k \neq-2$.
$\text{C.}$ $k>0$ 且 $k \neq 3$.
$\text{D.}$ $k < 0$ 且 $k \neq-3$.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)=x \mathrm{e}^x$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left[\frac{f^{(k)}(0)}{n}\right]=$
设 $x=u \cos \frac{v}{u}, y=u \sin \frac{v}{u}$, 其中 $u>0, \frac{v}{u} \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, 则 $\frac{\partial v}{\partial x}=$
设函数 $y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\ln \left(1+\mathrm{e}^t\right) \text {, } \\ y=-t^2+3\end{array}\right.$ 确定, 则曲线 $y=y(x)$ 在参数 $t=0$ 对应的点处的曲率 $k=$
一水平横放的圆柱形油桶, 设 $F_1$ 为桶内盛半桶油时桶的一个端面所受的侧压力, $F_2$ 为桶内盛满油时桶的一个端面所受的侧压力, 则 $\frac{F_1}{F_2}= $.
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid y \geqslant x^2-2, y \leqslant x \leqslant 1\right\}$, 则二重积分 $\iint_D x\left(2 \mathrm{e}^y-\mathrm{e}^{-y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 10\end{array}\right), \boldsymbol{B}=(2 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E})^{-1}$, 则 $|\boldsymbol{B}-2 \boldsymbol{E}|$ 中所有元素的代数余子式之和为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 可微, 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $y=x-1$, 求极限
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x \mathrm{e}^t f\left(1+\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^t\right) \mathrm{d} t}{1-\sqrt{1+3 x^2}}
$$
设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $2 x^2+y^2+z^2+2 x y-2 x-2 y-4 z+4=0$ 确定的, 求 $z=z(x, y)$ 的极值.
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续, 且满足 $2 f(x)+2 \int_0^x f(t) \mathrm{d} t=\mathrm{e}^{-x}(\sin x-\cos x)+1$.
(1) 求 $f(x)$ 的表达式;
(2) 求曲线 $y=f(x)(0 \leqslant x \leqslant n \pi)$ 与 $x$ 轴围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积 $V_n$, 并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} V_n$.
$$
\begin{aligned}
& \text { 计算积分 } I=\iint_D|f(x, y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, \text { 其中 } D: 0 \leqslant x \leqslant 2 \pi, 0 \leqslant y \leqslant 2 \pi, \\
& f(x, y)= \begin{cases}\sin (x-y), & 0 \leqslant x \leqslant y, \\
\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}, & 0 \leqslant y \leqslant x .\end{cases}
\end{aligned}
$$
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续, 记 $F(x)=\frac{1}{x} \int_0^x f(t) \mathrm{d} t$.
(1) 证明: 若对 $\forall a, b>0$, 有 $f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{1}{2}[f(a)+f(b)]$, 则必有
$$
F\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{1}{2}[F(a)+F(b)]
$$
(2) 反之, 若对 $\forall a, b>0$, 有 $F\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{1}{2}[F(a)+F(b)]$, 是否必有
$$
f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{1}{2}[f(a)+f(b)]
$$
请给出你的证明或反例.
若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^*=\left(\begin{array}{ccc}3 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \\ a & 2 & -3\end{array}\right)$ 相似于矩阵 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$, 其中 $|\boldsymbol{A}|>0$.
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 求 $\boldsymbol{A}^{99}$.