如图, 四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O, \angle A B C=60^{\circ}, \angle B A C=\angle C A D=45^{\circ}, A B+A D=2$, 则 $\odot O$ 的半径是
A. $\frac{\sqrt{6}}{3}$
B. $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$