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已知函数 $f(x)=\int_0^{\sin x} \sin t^3 \mathrm{~d} t, g(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ ，则 ( )
A. $f(x)$ 是奇函数， $g(x)$ 是奇函数     B. $f(x)$ 是奇函数， $g(x)$ 是偶函数     C. $f(x)$ 是偶函数， $g(x)$ 是偶函数     D. $f(x)$ 是偶函数， $g(x)$ 是奇函数         
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