单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
曲线 $y=\sin ^2 x(0 \leq x \leq \pi)$ 与 $x$ 轴围成的图形绕 $x$ 轴旋转所形成的旋转体体积为
$\text{A.}$ $\frac{4}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{4}{3} \pi$
$\text{C.}$ $\frac{2}{3} \pi^2$
$\text{D.}$ $\frac{2}{3} \pi$
曲线 $y=\cos x\left(-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right)$ 与 $x$ 轴围成的图形绕 $x$轴旋转一周所成的旋转体的体积为
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ $\pi$
$\text{C.}$ $\frac{\pi^2}{2}$
$\text{D.}$ $\pi^2$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
由曲线 $y=x e^x$ 与直线 $y=e x$ 所围成的图形的面积 $S=$
由曲线 $y=x+\frac{1}{x}, x=2$ 及 $y=2$ 所围图形的面积 $S=$
曲线 $y=-x^3+x^2+2 x$ 与 $x$ 轴所围成的图形的面积 $A=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $D$ 是曲线 $y=\sin x+1$ 与三条直线 $x=0, x=\pi$, $y=0$ 围成的曲边梯形，求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
设抛物线 $y=a x^2+b x+c$ 过原点，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $y \geq 0$ ，又已知该抛物线与 $x$ 轴及直线 $x=1$ 所围成的面积为 $\frac{1}{3}$ ，试确定 $a, b, c$ 的值，使此图形绕 $x$ 轴旋转一周而成的旋转体的体积 $V$ 最小.
过点 $P(1,0)$ 作抛物线 $y=\sqrt{x-2}$ 的切线与上述抛物线及 $x$ 轴围成一平面图形, 求此图形绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积.
计算曲线 $y=\ln \left(1-x^2\right)$ 上相应于 $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ 的一段弧的长度.
求摆线 $\left\{\begin{array}{l}x=1-\cos t \\ y=t-\sin t\end{array}\right.$ 一拱 $(0 \leq t \leq 2 \pi)$ 的弧长.
设有曲线 $y=\sqrt{x-1}$ ，过原点作其切线，求由此曲线、切线及 $x$ 轴围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.
过点 $(0,1)$ 作曲线 $L: y=\ln x$ 的切线，切点为 $A$ ， 又 $L$与 $x$ 轴交于 $B$ 点，区域 $D$ 由 $L$ 与直线 $A B$ 围成，求区域 $D$ 的面积及 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积.