单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(0)=0$ ，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导的充要条件为
$\text{A.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1-\cos h)}{h^2}$ 存在
$\text{B.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(1-\mathrm{e}^h\right)}{h}$ 存在
$\text{C.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(h-\sin h)}{h^2}$ 存在
$\text{D.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(2 h)-f(h)}{h}$ 存在
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，其导函数的图形如下图所示，则 $f(x)$ 有
$\text{A.}$ 一个极小值点和两个极大值点
$\text{B.}$ 两个极小值点和一个极大值点
$\text{C.}$ 两个极小值点和两个极大值点
$\text{D.}$ 三个极小值点和一个极大值点
把 $x \rightarrow 0^{+}$时的无穷小量
$$
\alpha=\int_0^x \cos t^2 \mathrm{~d} t, \beta=\int_0^{x^2} \tan \sqrt{t} \mathrm{~d} t, \gamma=\int_0^{\sqrt{x}} \sin t^3 \mathrm{~d} t ，
$$
排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是
$\text{A.}$ $\alpha, \beta, \gamma$
$\text{B.}$ $\alpha, \gamma, \beta$
$\text{C.}$ $\beta, \alpha, \gamma$
$\text{D.}$ $\beta, \gamma, \alpha$
设函数 $f(x)$ 连续，且 $f^{\prime}(0)>0$, 则存在 $\delta>0$ ，使得
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $(0, \delta)$ 内单调增加
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $(-\delta, 0)$ 内单调减少
$\text{C.}$ 对任意的 $x \in(0, \delta)$ 有 $f(x)>f(0)$
$\text{D.}$ 对任意的 $x \in(-\delta, 0)$ 有 $f(x)>f(0)$
设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 为正项级数，下列结论中正确的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n=0$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛.
$\text{B.}$ 若存在非零常数 $ \lambda$ 使得 $ \lim _{n \rightarrow \infty} n a_n=\lambda \text { ，则 } \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ 发散
$\text{C.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^2 a_n=0$
$\text{D.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散, 则存在非零常数 $\boldsymbol{\lambda}$ ，使得
$\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n=\lambda$
设 $f(x)$ 为连续函数， $F(t)=\int_1^t \mathrm{~d} y \int_y^t f(x) \mathrm{d} x$ ，则 $F^{\prime}(2)$ 等于
$\text{A.}$ $2 f(2)$
$\text{B.}$ $f(2)$
$\text{C.}$ $-f(2)$
$\text{D.}$ 0
设 $A$ 是 3 阶方阵，将 $A$ 的第 1 列与第 2 列交换得 $B$ ，再把 $B$ 的第 2 列加到第 3 列得 $C$ ，则满足 $A Q=C$ 的可逆矩阵 $Q$ 为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
设 $A, B$ 为满足 $A B=O$ 的任意两个非零矩阵，则必有
$\text{A.}$ $A$ 的列向量组线性相关， $B$ 的行向量组线性相关.
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性相关， $B$ 的列向量组线性相关.
$\text{C.}$ $A$ 的行向量组线性相关， $B$ 的行向量组线性相关.
$\text{D.}$ $A$ 的行向量组线性相关， $B$ 的列向量组线性相关.
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $y=e^x\left(C_1 \sin x+C_2 \cos x\right)\left(C_1, C_2\right.$ 为任意常数 $)$ 为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为
换二次积分的积分次序:
$$
\int_{-1}^0 \mathrm{~d} y \int_2^{1-y} f(x, y) \mathrm{d} x=
$$
设矩阵 $A$ 满足 $A^2+A-4 E=O$ ，其中 $E$ 为单位矩阵，则 $(A-E)^{-1}=$
$\int_e^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \ln ^2 x}=$
已知函数 $y=y(x)$ 是由方程 $e^y+6 x y+x^2-1=0$ 确定，则 $y^{\prime \prime}(0)=$
微分方程 $y y^{\prime \prime}+y^{\prime 2}=0$ 满足初始条件 $\left.y\right|_{x=0}=1$ ， $\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=\frac{1}{2}$ 的特解是
$\lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{\ln \left(1+x^2\right)}}=$
已知 $f^{\prime}\left(e^x\right)=x e^{-x}$ ，且 $f(1)=0$ ，则 $f(x)=$
欧拉方程 $x^2 \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}+4 x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+2 y=0(x>0)$ 的通解为
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 内具有二阶连续导数且 $f^{\prime \prime}(x) \ne 0$ ，试证: (1) 对 $(-1,1)$ 内的任一 $x \neq 0$ ，存在惟一的 $\theta(x) \in(0,1)$ ，使得 $f(x)=f(0)+x f^{\prime}(\theta(x) x)$ 成立；
(2) $\lim _{x \rightarrow 0} \theta(x)=\frac{1}{2}$.
已知两曲线 $y=f(x)$ 与 $y=\int_0^{\arctan x} e^{-t^2} \mathrm{dt}$ 在点 $(0,0)$处的切线相同，写出此切线方程，并求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n f\left(\frac{2}{n}\right)$.
过坐标原点作曲线 $y=\ln x$ 的切线，该切线与曲线 $y=\ln x$ 及 $x$ 轴围成平面图形 $D$.
(1) 求 $D$ 的面积 $A$.
(2) 求 $D$ 绕直线 $x=e$ 旋转一周所得旋转体的体积 $V$.
设 $z=z(x, y)$ 是由 $x^2-6 x y+10 y^2-2 y z-$ $z^2+18=0$ 确定的函数，求 $z=z(x, y)$ 的极值点和极值.
$\int \frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}} d x$
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 内连续，$f(1)=3$ ，又 $\forall x, y \in(0,+\infty)$ ，恒有
$$
\int_1^{x y} f(t) d t=y \int_1^x f(t) d t+x \int_1^y f(t) d t,
$$
求 $f(x)$ ．
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right)$ ，求 $A^n$ ．
设 $A=\left(\begin{array}{llll}1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ a & 0 & 0 & 1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$ ，当实数 $a$ 为何值时，方程组 $A x=\beta$ 有无穷多解，并求其通解．