单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+|x|^{3 n}}$ ，则 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$内
$\text{A.}$ 处处可导
$\text{B.}$ 恰有一个不可导点
$\text{C.}$ 恰有两个不可导点
$\text{D.}$ 至少有三个不可导点
设 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 的一个原函数，" $M \Leftrightarrow N$ " 表示 $" M$ 的充分必要条件是 $N "$ ，则必有
$\text{A.}$ $F(x)$ 是偶函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是奇函数
$\text{B.}$ $F(x)$ 是奇函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是偶函数
$\text{C.}$ $F(x)$ 是周期函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是周期函数
$\text{D.}$ $F(x)$ 是单调函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是单调函数
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{c}x=t^2+2 t \\ y=\ln (1+t)\end{array}\right.$ 确定，则曲线 $y=y(x)$ 在 $x=3$ 处的法线与 $x$ 轴交点的横坐标是
$\text{A.}$ $\frac{1}{8} \ln 2+3$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{8} \ln 2+3$
$\text{C.}$ $-8 \ln 2+3$
$\text{D.}$ $8 \ln 2+3$
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 4, x \geq 0, y \geq 0\right\} ， f(x)$为 $D$ 上的正值连续函数， $a, b$ 为常数，则
$$
\iint_D \frac{a \sqrt{f(x)}+b \sqrt{f(y)}}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)}} \mathrm{d} \sigma=
$$
$\text{A.}$ $a b \pi$
$\text{B.}$ $\frac{a b}{2} \pi$
$\text{C.}$ $(a+b) \pi$
$\text{D.}$ $\frac{a+b}{2} \pi$
设函数
$$
u(x, y)=\phi(x+y)+\phi(x-y)+\int_{x-y}^{x+y} \psi(t) \mathrm{d} t ，
$$
其中函数 $\phi$ 具有二阶导数， $\psi$ 具有一阶导数，则必有
$\text{A.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$
$\text{B.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$
$\text{C.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$
$\text{D.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$
设函数 $f(x)=\frac{1}{e^{\frac{x}{x-1}}-1}$, 则
$\text{A.}$ $x=0, x=1$ 都是 $f(x)$ 的第一类间断点.
$\text{B.}$ $x=0, x=1$ 都是 $f(x)$ 的第二类间断点.
$\text{C.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点， $x=1$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点
$\text{D.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点， $x=1$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点
设 $\lambda_1, \lambda_2$ 是矩阵 $A$ 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 $\alpha_1, \alpha_2$ ，则 $\alpha_1, A\left(\alpha_1+\alpha_2\right)$ 线性无关的充分必要条件是
$\text{A.}$ $\lambda_1 \neq 0$
$\text{B.}$ $\lambda_2 \neq 0$
$\text{C.}$ $\lambda_1=0$
$\text{D.}$ $\lambda_2=0$
设 $A$ 为 $n(n \geq 2)$ 阶可逆矩阵，交换 $A$ 的第 1 行与第 2 行得矩阵 $B ， A^*, B^*$ 分别为 $A, B$ 的伴随矩阵，则
$\text{A.}$ 交换 $A^*$ 的第 1 列与第 2 列得 $B^*$
$\text{B.}$ 交换 $A^*$ 的第 1 行与第 2 行得 $B^*$
$\text{C.}$ 交换 $A^*$ 的第 1 列与第 2 列得 $-B^*$
$\text{D.}$ 交换 $A^*$ 的第 1 行与第 2 行得 $-B^*$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $y=(1+\sin x)^x$ ，则 $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=\pi}=$
曲线 $y=\frac{(1+x)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}}$ 的斜渐近线方程为
$\int_0^1 \frac{x \mathrm{~d} x}{\left(2-x^2\right) \sqrt{1-x^2}}=$
方程 $x y^{\prime}+2 y=x \ln x$ 满足 $y(1)=-\frac{1}{9}$ 的解为
当 $x \rightarrow 0$ 时， $\alpha(x)=k x^2$ 与
$$
\beta(x)=\sqrt{1+x \arcsin x}-\sqrt{\cos x}
$$
是等价无穷小，则 $k=$
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 均为三维列向量，记矩阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ ，
$$
B=\left(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3, \alpha_1+2 \alpha_2+4 \alpha_3, \alpha_1+3 \alpha_2+9 \alpha_3\right) \text { ， }
$$
如果 $|A|=1$ ，那么 $|B|=$ $\qquad$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 连续，且 $f(0) \neq 0$ ，求极限
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x(x-t) f(t) \mathrm{d} t}{x \int_0^x f(x-t) \mathrm{d} t} .
$$
如图， $C_1$ 和 $C_2$ 分别是 $y=\frac{1}{2}\left(1+e^x\right)$ 和 $y=e^x$ 的图象，过点 $(0,1)$ 的曲线 $C_3$ 是一单调增函数的图象. 过 $C_2$ 上任一点 $M(x, y)$ 分别作垂直于 $x$ 轴和 $y$ 轴的直线 $l_x$ 和 $l_y$. 记 $C_1, C_2$与 $l_x$ 所围图形的面积为 $S_1(x) ； C_2, C_3$ 与 $l_y$ 所围图形的面积为 $S_2(y)$. 如果总有 $S_1(x)=S_2(y)$ ，求曲线 $C_3$ 的方程 $x=\phi(y)$.
如下图，曲线 $C$ 的方程为 $y=f(x)$ ，点 $(3,2)$ 是它的一个拐点，直线 $l_1$ 与 $l_2$ 分别是曲线 C 在点 $(0,0)$ 与 $(3,2)$ 处的切线，其交点为 $(2,4)$. 设函数 $f(x)$ 具有三阶连续导数，计算定积分 $\int_0^3\left(x^2+x\right) f^{\prime \prime \prime}(x) \mathrm{d} x$.
用变量代换 $x=\cos t(0 < t < \pi)$ 化简微分方程
$$
\left(1-x^2\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=0 ，
$$
并求其满足 $\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2$ 的特解.
已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0, f(1)=1$. 证明:
(1) 存在 $\xi \in(0,1)$, 使得 $f(\xi)=1-\xi$.
(2) 存在两个不同的点 $\eta, \zeta \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\eta) f^{\prime}(\zeta)=1$.
已知函数 $z=f(x, y)$ 的全微分 $\mathrm{d} z=2 x \mathrm{~d} x-2 y \mathrm{~d} y$ ，并且 $f(1,1)=2$ 求 $f(x, y)$ 在椭圆域
$$
D=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^2+\frac{y^2}{4} \leq 1\right.\right\}
$$
上的最大值和最小值.
计算二重积分 $\iint_D\left|x^2+y^2-1\right| \mathrm{d} \sigma$ ，其中
$$
D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\} .
$$
确定常数 $a$, 使向量组 $\alpha_1=(1,1, a)^T, \alpha_2=(1, a, 1)^T$, $\alpha_3=(a, 1,1)^T$ 可由向量组 $\beta_1=(1,1, a)^T, \beta_2=(-2, a, 4)^T$, $\beta_3=(-2, a, a)^T$ 线性表示，但向量组 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 不能由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示.
已知三阶矩阵 $A$ 的第一行是 $(a, b, c), a, b, c$ 不全为零，矩阵 $B=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & k\end{array}\right]$ ( $k$ 为常数)，且 $A B=0$ ，求线性方程组 $A X=0$ 的通解.