单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
把 $x \rightarrow 0^{+}$时的无穷小量
$$
\alpha=\int_0^x \cos t^2 \mathrm{~d} t, \beta=\int_0^{x^2} \tan \sqrt{t} \mathrm{~d} t, \gamma=\int_0^{\sqrt{x}} \sin t^3 \mathrm{~d} t ，
$$
排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是
$\text{A.}$ $\alpha, \beta, \gamma$
$\text{B.}$ $\alpha, \gamma, \beta$
$\text{C.}$ $\beta, \alpha, \gamma$
$\text{D.}$ $\beta, \gamma, \alpha$
设 $f(x)=|x(1-x)|$ ，则
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,0)$ 不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{B.}$ $x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{C.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，且 $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{D.}$ $x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点, $(0,0)$ 也不是曲线 $y=f(x)$的拐点
$\lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^2\left(1+\frac{2}{n}\right)^2 \cdots\left(1+\frac{2}{n}\right)^2}$ 等于
$\text{A.}$ $\int_1^2 \ln ^2 x \mathrm{~d} x$
$\text{B.}$ $2 \int_1^2 \ln x \mathrm{~d} x$
$\text{C.}$ $2 \int_1^2 \ln (1+x) d x$
$\text{D.}$ $\int_1^2 \ln ^2(1+x) \mathrm{d} x$
设函数 $f(x)$ 连续，且 $f^{\prime}(0)>0$, 则存在 $\delta>0$, 使得
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $(0, \delta)$ 内单调增加
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $(-\delta, 0)$ 内单调减少
$\text{C.}$ 对任意的 $x \in(0, \delta)$ 有 $f(x)>f(0)$
$\text{D.}$ 对任意的 $x \in(-\delta, 0)$ 有 $f(x)>f(0)$
微分方程 $y^{\prime \prime}+y=x^2+1+\sin x$ 的特解形式可设为
$\text{A.}$ $y^*=a x^2+b x+c+x(A \sin x+B \cos x)$
$\text{B.}$ $y^*=x\left(a x^2+b x+c+A \sin x+B \cos x\right)$
$\text{C.}$ $y^*=a x^2+b x+c+A \sin x$
$\text{D.}$ $y^*=a x^2+b x+c+B \cos x$
设函数 $f(u)$ 连续，区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 2 y\right\}$, 则 $\iint_D f(x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 等于
$\text{A.}$ $\int_{-1}^1 \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} f(x y) \mathrm{d} y$
$\text{B.}$ $2 \int_0^2 \mathrm{~d} y \int_0^{\sqrt{2 y-y^2}} f(x y) \mathrm{d} x$
$\text{C.}$ $\int_0^\pi \mathrm{d} \theta \int_0^{2 \sin \theta} f\left(r^2 \sin \theta \cos \theta\right) \mathrm{d} r$
$\text{D.}$ $\int_0^\pi \mathrm{d} \theta \int_0^{2 \sin \theta} f\left(r^2 \sin \theta \cos \theta\right) r \mathrm{~d} r$
设 $A$ 是 3 阶方阵，将 $A$ 的第 1 列与第 2 列交换得 $B$ ，再把 $B$ 的第 2 列加到第 3 列得 $C$ ，则满足 $A Q=C$ 的可逆矩阵 $Q$ 为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
设 $A, B$ 为满足 $A B=O$ 的任意两个非零矩阵，则必有
$\text{A.}$ $A$ 的列向量组线性相关， $B$ 的行向量组线性相关.
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性相关， $B$ 的列向量组线性相关.
$\text{C.}$ $A$ 的行向量组线性相关， $B$ 的行向量组线性相关.
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}$ 的行向量组线性相关， $B$ 的列向量组线性相关
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n-1) x}{n x^2+1}$, 则 $f(x)$ 的间断点为 $x=$
设函数 $y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=t^3+3 t+1 \\ y=t^3-3 t+1\end{array}\right.$ 确定，则曲线 $y=y(x)$ 向上凸的 $x$ 取值范围为
$\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x^2-1}}=$
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $z=e^{2 x-3 z}+2 y$ 确定，则 $3 \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=$
微分方程 $\left(y+x^3\right) \mathrm{d} x-2 x \mathrm{~d} y=0$ 满足 $\left.y\right|_{x=1}=\frac{6}{5}$ 的特解为
6、设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，矩阵 $B$ 满足
$$
A B A^*=2 B A^*+E,
$$
其中 $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵， $E$ 是单位矩阵，则 $|B|=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^3}\left[\left(\frac{2+\cos x}{3}\right)^x-1\right]$.
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有定义，在区间 $[0,2]$ 上 $f(x)=x\left(x^2-4\right)$. 若对任意 $x$ 都满足 $f(x)=k f(x+2)$ ，其中 $k$ 为常数.
（1）写出 $f(x)$ 在 $[-2,0]$ 上的表达式;
（2）问 $k$ 为何值时， $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导.
设 $f(x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{2}}|\sin t| \mathrm{d} t$.
(1) 证明 $f(x)$ 是以 $\pi$ 为周期的周期函数；
(2) 求 $f(x)$ 的值域.
曲线 $y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ 与直线 $x=0, x=t(t>0)$ 及 $y=0$围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕 $x$ 轴旋转一周得一旋转体，其体积为 $V(t)$ ，侧面积为 $S(t)$ ，在 $x=t$ 处的底面积为 $F(t)$.
(1) 求 $\frac{S(t)}{V(t)}$ 的值；
(2) 计算极限 $\lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{S(t)}{F(t)}$.
设 $e < a < b < e^2$. 证明 $\ln ^2 b-\ln ^2 a>\frac{4}{e^2}(b-a)$.
某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为 9000 kg 的飞机，着陆时的水平速度为 $700 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比 (比例系数为 $k=6.0 \times 10^6$ ) 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少? ( kg 表示千克， $\mathrm{km} / \mathrm{h}$ 表示千米 (小时).
设 $z=f\left(x^2-y^2, e^{x y}\right)$ ，其中 $f$ 具有连续二阶偏导数，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
设有齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{c}
(1+a) x_1+x_2+x_3+x_4=0, \\
2 x_1+(2+a) x_2+2 x_3+2 x_4=0, \\
3 x_1+3 x_2+(3+a) x_3+3 x_4=0, \\
4 x_1+4 x_2+4 x_3+(4+a) x_4=0,
\end{array}\right.
$$
试问 $a$ 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\ -1 & 4 & -3 \\ 1 & a & 5\end{array}\right)$ 的特征方程有一个二重根，求 $a$ 的值，并讨论 $A$ 是否可相似对角化.