单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(u)$ 可导， $y=f\left(x^2\right)$ 当自变量 $x$ 在 $x=-1$ 处取得增量 $\Delta x=-0.1$ 时，相应的函数增量 $\Delta y$ 的线性主部为 0.1 ，则 $f^{\prime}(1)=$
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 0.1
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 0.5
设函数 $f(x)$ 连续，则下列函数中，必为偶函数的是
$\text{A.}$ $\int_0^x f\left(t^2\right) \mathrm{d} t$
$\text{B.}$ $\int_0^x f^2(t) \mathrm{d} t$
$\text{C.}$ $\int_0^x t[f(t)-f(-t)] \mathrm{d} t$
$\text{D.}$ $\int_0^x t[f(t)+f(-t)] \mathrm{d} t$
设 $y=y(x)$ 是二阶常系数微分方程
$$
y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=e^{3 x}
$$
满足初始条件 $y(0)=y^{\prime}(0)=0$ 的特解, 则当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $\frac{\ln \left(1+x^2\right)}{y(x)}$ 的极限
$\text{A.}$ 不存在
$\text{B.}$ 等于 1
$\text{C.}$ 等于 2
$\text{D.}$ 等于 3
设函数 $y=f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内有界且可导，则
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 时，必有 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在时，必有 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$
$\text{C.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=0$ 时，必有 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=0$
$\text{D.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)$ 存在时，必有 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=0$
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，向量 $\beta_1$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表出，向量 $\beta_2$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表出，则对于任意常数 $k$ ，必有
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, k \beta_1+\beta_2$ 线性无关
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, k \beta_1+\beta_2$ 线性相关
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1+k \beta_2$ 线性无关
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1+k \beta_2$ 线性相关
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-e^{\tan x}}{\arcsin \frac{x}{2}}, & x>0 \\ a e^{2 x}, & x \leq 0\end{array}\right.$ ，在 $x=0$ 处连续, 则 $a=$
位于曲线 $y=x e^{-x}(0 \leq x < +\infty)$ 下方， $x$ 轴上方的无界图形的面积是
微分方程 $y y^{\prime \prime}+y^{\prime 2}=0$ 满足初始条件 $\left.y\right|_{x=0}=1$ ，$\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=\frac{1}{2}$ 的特解是
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left[\sqrt{1+\cos \frac{\pi}{n}}+\sqrt{1+\cos \frac{2 \pi}{n}}+\cdots+\sqrt{1+\cos \frac{n \pi}{n}}\right]=$
矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}0 & -2 & 2 \\ 2 & 2 & -2 \\ -2 & -2 & 2\end{array}\right)$ 的非零特征值是
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知曲线的极坐标方程是 $r=1-\cos \theta$ ，求该曲线上对应于 $\theta=\frac{\pi}{6}$ 处的切线与法线的直角坐标方程.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x+\frac{3}{2} x^2, & -1 \leq x < 0 \\ \frac{x e^x}{\left(e^x+1\right)^2}, & 0 \leq x \leq 1\end{array}\right.$, 求函数 $F(x)=\int_{-1}^x f(t) \mathrm{d} t$ 的表达式.
已知函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导， $f(x)>0$ ， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1$ ，且满足 $\lim _{h \rightarrow 0}\left[\frac{f(x+h x)}{f(x)}\right]^{\frac{1}{h}}=e^{\frac{1}{x}}$, 求 $f(x)$.
求微分方程 $x \mathrm{~d} y+(x-2 y) \mathrm{d} x=0$ 的一个解 $y=y(x)$ ，使得由曲线 $y=y(x)$ 与直线 $x=1, x=2$ 以及 $x$ 轴所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周的旋转体体积最小.
某闸门的形状与大小如下图所示，其中直线 $l$ 为对称轴，闸门的上部为矩形 $A B C D$ ，下部由二次抛物线与线段 $A B$ 所围成. 当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为 $5: 4$, 闸门矩形部分的高 $h$ 应为多少米?
设 $0 \leq x_1 \leq 3, x_{n+1}=\sqrt{x_n\left(3-x_n\right)}(n=1,2, \cdots)$ ，证明数列 $\left\{x_n\right\}$ 的极限存在，并求此极限.
设 $0 < a < b$ ，证明不等式
$$
\frac{2 a}{a^2+b^2} < \frac{\ln b-\ln a}{b-a} < \frac{1}{\sqrt{a b}} \text {. }
$$
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某个领域内有二阶连续导函数，且
$$
f(0) \neq 0, f^{\prime}(0) \neq 0, f^{\prime \prime}(0) \neq 0 .
$$
证明: 存在惟一的一组实数 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ ，使得当 $h \rightarrow 0$ 时，
$$
\lambda_1 f(h)+\lambda_2 f(2 h)+\lambda_3 f(3 h)-f(0)
$$
是比 $h^2$ 高阶的无穷小.
已知 $A, B$ 为 3 阶矩阵，且满足 $2 A^{-1} B=B-4 E$ ，其中 $\boldsymbol{E}$ 是 3 阶单位矩阵.
(1) 证明: 矩阵 $A-2 E$ 可逆;
(2) 若 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$, 求矩阵 $A$.
已知 4 阶方阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2 \alpha_3, \alpha_4\right) ， \alpha_1, \alpha_2 \alpha_3, \alpha_4$ 均为 4 维列向量，其中 $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性无关， $\alpha_1=2 \alpha_2-\alpha_3$ ，如果 $\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4$ ，求线性方程组 $A x=\beta$ 的通解.