解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
讨论下列数列的敛散性。
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a_n=\sqrt[n]{1+\sqrt[n]{2+\sqrt[n]{3+\cdots+\sqrt[n]{n}}}}
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设 $f(x) \in C[a, b], f(a)=f(b)$ 。证明, 存在数列 $x_n, y_n$ 满足 $x_n < y_n$,
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\lim _{n \rightarrow \infty}\left(y_n-x_n\right)=0 \text {, 且 } f\left(x_n\right)=f\left(y_n\right) 。
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证明 $\sum_{k=0}^n(-1)^k C_n^k \frac{1}{1+k+m}=\sum_{k=0}^m(-1)^k C_m^k \frac{1}{1+k+n}$
无穷乘积 $\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+a_n\right)$ 收玫, 是否无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛。如果是证明你的结论, 如果不是举出反例。
设 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} x^n \ln x$, 计算 $\int_0^1 f(x) d x$
设定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数二阶可导, $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在, $f^{\prime \prime}(x)$ 有界,证明 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ 。
设序列 $x_n$ 有界, 且 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n+1}-x_n\right)=0$ 。
记 $\varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_n=J, \varliminf_{n \rightarrow \infty} x_n=L .(J < L)$ 。
证明对 $[J, L]$ 中的任何实数都是 $x_n$ 中某子列的极限。
对 $p>0$, 讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin \frac{n \pi}{4}}{n^p+\sin \frac{n \pi}{4}}$ 的绝对收敛性和收敛性。
求函数 $f(x)=\frac{2 x \sin \theta}{1-2 x \cos \theta+x^2}$ 在 $x=0$ 的泰勒展开。其中 $\theta$ 是常数. 并计算积分 $\int_0^\pi \ln \left(1-2 x \cos \theta+x^2\right) d \theta$.
证明 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x=\frac{\pi}{2}$, 并计算 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin ^2(x y)}{x^2} d x$ 。