答案
积分区域对称于 $x$ 轴, $\frac{x y}{1+x^{2}+y^{2}} y$ 为 $y$ 的奇函数,
从而知 $\iint_{D} \frac{x y}{1+x^{2}+y^{2}} d x d y=0$
$$
I=\iint_{D} \frac{1}{1+x^{2}+y^{2}} d x d y \text { 极坐标 } \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_{0}^{1} \frac{r}{1+r^{2}} d r=\left.\frac{\pi}{2} \ln \left(1+r^{2}\right)\right|_{0} ^{1}=\frac{\pi}{2} \ln 2
$$