2003年全国硕士研究生招生考试试题-中考/高考/考研数学试题

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试题类型		选择题选项
试题分值		所属年份
试题来源		难度等级
省份		年级
试题分类	线性方程 (x) 确定
试题题目	设有齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 和 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$, 其中 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $m \times n$ 矩阵, 现有 4 个命题: (1)若 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解均是 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 的解, 则秩 $(\boldsymbol{A}) \geqslant$ 秩 $(\boldsymbol{B})$; (2)若秩 $(\boldsymbol{A}) \geqslant$ 秩 $(\boldsymbol{B})$, 则 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解均是 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 的解; (3)若 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 同解, 则秩 $(\boldsymbol{A})=$ 秩 $(\boldsymbol{B})$; (4)若秩 $(\boldsymbol{A})=$ 秩 $(\boldsymbol{B})$, 则 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 同解. 以上命题中正确的是( )
问题选项	(1) (2) (1) (3) (2) (4) (3) (4)
参考答案	B
试题解析	本题可找反例用排除法进行分析, 但(1)、(2)两个命题的反例比较复杂一些, 关键是抓住(3)、(4), 迅速排除不正确的选项. 【详解】若 $A X=0$ 与 $B X=0$ 同解, 则它们的解空间中的基础解系所含向量个数相同, 即 $n-$ 秩 $(A)=n-$ 秩 $(B)$, 得秩 $(A)=$ 秩 $(B)$, 命题(3)成立, 可排除 $(\mathrm{A}),(\mathrm{C})$; 但反过来, 若秩 $(A)=$ 秩 $(B)$, 则不能推出 $A X=0$ 与 $B X=0$ 同解, 通过举一反例证明, 若 $A=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$, 则秩 $(A)=$ 秩 $(B)=1$, 但 $A X=0$ 与 $B X=0$ 不同解, 可见命题(4)不成立, 排除(D). 故正确选项为(B).
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