单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
如图, 这是一个水上漂浮式警示浮标, 它的主体由上面一个圆锥和下面一个半球体组成. 已知该浮标上面圆锥的侧面积是下面半球面面积的 2 倍, 则圆锥的体积与半球体的体积的比值为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{15}}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{15}}{2}$
祖晅是我国南北朝时期伟大的数学家. 祖㮛原理用现代语言可以描述为 "夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截, 如果截得的面积总相等, 那么这两个几何体的体积相等". 例如, 可以用祖晅原理推导半球的体积公式, 如图, 底面半径和高都为 $R$ 的圆柱与半径为 $R$ 的半球放置在同一底平面上, 然后在圆柱内挖去一个半径为 $R$, 高为 $R$ 的圆锥后得到一个新的几何体, 用任何一个平行于底面的平面 $\alpha$ 去截这两个几何体时, 所截得的截面面积总相等, 由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等. 若用平行于半球底面的平面 $\alpha$ 去截半径为 $R$ 的半球, 且球心到平面 $\alpha$的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2} R$, 则平面 $\alpha$ 与半球底面之间的几何体的体积是
$\text{A.}$ $\frac{5 \sqrt{2}}{24} \pi R^3$
$\text{B.}$ $\frac{7 \sqrt{2}}{24} \pi R^3$
$\text{C.}$ $\frac{5 \sqrt{2}}{12} \pi R^3$
$\text{D.}$ $\frac{7 \sqrt{2}}{12} \pi R^3$
多选题 （共 2 题 ），每题有多个选项正确
如图圆台 $O_1 O_2$, 在轴截面 $A B C D$ 中, $A B=A D=B C=\frac{1}{2} C D=$ 2 ，下面说法正确的是（）
$\text{A.}$ 线段 $A C=2 \sqrt{3}$
$\text{B.}$ 该圆台的表面积为 $11 \pi$
$\text{C.}$ 该圆台的体积为 $7 \sqrt{3} \pi$
$\text{D.}$ 沿着该圆台的表面, 从点 $C$ 到 $A D$ 中点的最短距离为 5
对于棱长为 1 (单位: $m$ ) 的正方体容器 (容器壁厚度忽略不计), 下列说法正确的是 ( )
$\text{A.}$ 底面半径为 $1 m$, 高为 $2 m$ 的圆锥形罩子 (无底面) 能够罩住水平放置的该正方体
$\text{B.}$ 以该正方体的三条棱作为圆锥的母线, 则此圆锥的母线与底面所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ 该正方体内能同时整体放入两个底面半径为 $0.5 m$, 高为 $0.7 m$ 的圆锥
$\text{D.}$ 该正方体内能整体放入一个体积为 $\frac{\sqrt{3} \pi}{17} m^3$ 的圆锥
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
一个圆锥的顶点和底面圆都在半径为 2 的球体表面上, 当圆锥的体积最大时, 其底面圆的半径为
已知正四面体 $A-B C D$ 的棱长为 1 , 若棱长为 $a$ 的正方体能整体放入正四面体 $A-B C D$ 中, 则实数 $a$ 的最大值为
在三棱锥 $P-A B C$ 中, 侧面所在平面与平面 $A B C$ 的夹角均为 $\frac{\pi}{4}$, 若 $A B=2, C A+C B=4$, 且 $\triangle A B C$ 是直角三角形, 则三棱锥 $P-A B C$ 的体积为
如图, 一块面积为定值的正方形铁片上有四块阴影部分, 将这些阴影部分裁下来, 然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器, 当容器的容积最大时, 其侧面与底面所成的二面角的余弦值为
