解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x) \in C[a, b]$, 在 $(a, b)$ 内有二阶导数, $c$ 为 $(a, b)$ 内任意一点,证明: 存在 $\xi \in(a, b)$, 使得
$\frac{f(a)}{(a-b)(a-c)}+\frac{f(b)}{(b-c)(b-a)}+\frac{f(c)}{(c-a)(c-b)}=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(\xi)$
设 $p(x) \in C[a, b]$ 非负, $f, g \in C[a, b]$ 且单增.
证明:
$\int_a^b p(x) f(x) \mathrm{d} x \int_a^b p(x) g(x) \mathrm{d} x \leq \int_a^b p(x) \mathrm{d} x \int_a^b p(x) f(x) g(x) \mathrm{d} x$
计算球面 $x^2+y^2+z^2=r^2$ 与圆柱面 $x^2+y^2=r x(r>0)$ 所围区域的体积.
设 $f \in C[0,1]$, 考虑 $[0,1]$ 上的函数列
$$
f_n(x)=\int_0^x f\left(t^n\right) \mathrm{d} t, n \geq 1
$$
证明: 函数列 $\left\{f_n(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛.
设 $f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的以 $2 \pi$ 为周期的二阶连续可微函数, 证明: $f(x)$ 的Fourier级数在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛于 $f(x)$.
证明:曲面$f\left(\frac{x-a}{z-c}, \frac{y-b}{z-c}\right)=0$ 上任意一点处切平面过某个定点,其中 $f$ 是可微函数.
证明:
$$
\frac{1}{2} \iint_{\Omega} \cos \langle\mathbf{r}, \mathbf{n}\rangle \mathrm{d} S=\iiint_V \frac{1}{r} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$
其中 $\Omega$ 是包围 $V$ 的曲面, $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, \mathbf{r}=(x, y, z)$. 这里 $(0,0,0) \notin \Omega$.