单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+x}{1+n x^{2 n}}$ ，则 $f(x)(\quad)$
$\text{A.}$ 在 $x=1, x=-1$ 处都连续
$\text{B.}$ 在 $x=1$ 处连续， $x=-1$ 处不连续
$\text{C.}$ 在 $x=1, x=-1$ 处都不连续
$\text{D.}$ 在 $x=1$ 处不连续， $x=-1$ 处连续
设 $I=\int_a^{a+k \pi}|\sin x| \mathrm{d} x, k$ 为整数，则 $I$ 的值（）
$\text{A.}$ 只与 $a$ 有关
$\text{B.}$ 只与 $k$ 有关
$\text{C.}$ 与 $a, k$ 均有关
$\text{D.}$ 与 $a, k$ 均无关
设 $f(x, y)$ 是连续函数，则 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} x \int_{\sin x}^1 f(x, y) \mathrm{d} y=(\quad)$
$\text{A.}$ $\int_{\frac{1}{2}}^1 \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{6}}^{\arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{B.}$ $\int_{\frac{1}{2}}^1 \mathrm{~d} y \int_{\arcsin y}^{\frac{\pi}{2}} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{C.}$ $\int_0^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y \int_{\frac{\pi}{6}}^{\arcsin y} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{D.}$ $\int_0^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y \int_{\arcsin y}^{\frac{\pi}{2}} f(x, y) \mathrm{d} x$
已知幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的和函数为 $\ln (2+x)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_{2 n}=$ ( )
$\text{A.}$ $-\frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x^T A x$ 在正交变换下可化成 $y_1^2-2 y_2^2+3 y_3^2$ ，则二次型 $f$ 的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行列式与迹分别为 ( )
$\text{A.}$ $-6,-2$
$\text{B.}$ $6,-2$
$\text{C.}$ $-6,2$
$\text{D.}$ $6,2 $
设 $A$ 为 3 阶矩阵， $P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，若 $\boldsymbol{P}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}^2=\left(\begin{array}{ccc}a+2 c & 0 & c \\ 0 & b & 0 \\ 2 c & 0 & c\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{A}=(\quad)$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}c & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & b\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}b & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}c & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}a+1 & b & 3 \\ a & \frac{b}{2} & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right), M_{i j}$ 表示 $A$ 的 $i$ 行 $j$ 列元素的余子式. 若 $|A|=-\frac{1}{2}$ ，且 $-M_{21}+M_{22}-M_{23}=0$ ，则（）
$\text{A.}$ $a=0$ 或 $a=-\frac{3}{2}$
$\text{B.}$ $a=0$ 或 $a=\frac{3}{2}$
$\text{C.}$ $b=1$ 或 $b=-\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $b=-1$ 或 $b=\frac{1}{2}$
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}6 x(1-x), & 0 < x < 1, \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$ ，则 $\boldsymbol{X}$ 的三阶中心矩 $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{E} \boldsymbol{X})^3=(\quad)$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{32}$
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ $\frac{1}{16}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
设随机变量 $X, Y$ 相互独立, 且 $X \sim N(0,2), Y \sim N(-1,1)$,记 $p_1=P\{2 X>Y\} ， p_2=P\{X-2 Y>1\}$ ，则
$\text{A.}$ $p_1>p_2>\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $p_2>p_1>\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $p_1 < p_2 < \frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $p_2 < p_1 < \frac{1}{2}$
设随机变量 $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$ 相互独立，且均服从参数为 $\boldsymbol{\lambda}$ 的指数分布，令 $\boldsymbol{Z}=|\boldsymbol{X}-\boldsymbol{Y}|$ ，则下列随机变量与 $\boldsymbol{Z}$ 同分布的是（）
$\text{A.}$ $\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y}$
$\text{B.}$ $\frac{X+Y}{2}$
$\text{C.}$ $2 X$
$\text{D.}$ $\boldsymbol{X}$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
当 $x \rightarrow 0$ 时， $\int_0^x \frac{\left(1+t^2\right) \sin t^2}{1+\cos t^2} \mathrm{~d} t$ 与 $x^k$ 是同阶无穷小，则 $k=$
$\int_2^{+\infty} \frac{5}{x^4+3 x^2-4} \mathrm{~d} x=$
函数 $f(x, y)=2 x^3-9 x^2-6 y^4+12 x+24 y$ 的极值点是
某产品的价格函数为 $p=\left\{\begin{array}{ll}25-0.25 Q, & Q \leq 20, \\ 35-0.75 Q, & Q>20\end{array}\right.$ ( $p$ 为单价，单位: 万元； $Q$ 为产量，单位：件），总成本函数为
$$
C=150+5 Q+0.25 Q^2 \text { (万元) }
$$
则经营该产品可获得的最大利润为 $\qquad$ (万元 ).
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵， $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵， $\boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵. 若 $r(2 E-A)=1, r(E+A)=2$ ，则 $\left|A^*\right|=$
设随机试验每次成功的概率为 $p$ ，现进行 3 次独立重复试验，在至少成功 1 次的条件下， 3 次试验全部成功的概率为 $\frac{4}{13}$ ，则 $p=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设有界区域 $D$ 位于第一象限，由曲线 $x y=\frac{1}{3}, x y=3$与直线 $y=\frac{1}{3} x, y=3 x$ 围成，计算 $I=\iint_D(1+x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $z+\mathrm{e}^x-y \ln \left(1+z^2\right)=0$确定，求 $\left.\left(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}\right)\right|_{(0,0)}$.
设 $t>0$ ，平面有界区域 $D$ 由曲线 $y=x \mathrm{e}^{-2 x}$ 与直线 $x=t, x=2 t$ 及 $x$ 轴围成， $D$ 的面积为 $S(t)$ ，求 $S(t)$ 的最大值.
设 $f(x)$ 具有二阶导数，且 $f^{\prime}(0)=f^{\prime}(1),\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1$.
证明：（1）当 $x \in(0,1)$ 时，有
$$
|f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x| \leq \frac{x(1-x)}{2}
$$
(2) $\left|\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right| \leq \frac{1}{12}$.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 6\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a & a-1 \\ 2 & -3 & 2 & -2\end{array}\right)$ ，向量 $\alpha=\left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \quad \beta=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)$.
(1) 证明: 方程组 $A x=\alpha$ 的解均为方程组 $B x=\beta$ 的解;
(2) 若方程组 $A x=\alpha$ 与方程组 $B x=\beta$ 不同解，求 $a$ 的值.
已知总体 $X$ 服从 $[0, \theta]$ 上的均匀分布， $\theta \in(0,+\infty)$为未知参数， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，记
$$
X_{(n)}=\max \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\}, T_c=c X_{(n)}
$$
(1) 求 $c$ ，使得 $E\left(T_c\right)=\theta$ ；
(2) 记 $h(c)=E\left(T_c-\theta\right)^2$ ，求 $c$ ，使得 $h(c)$ 最小.