单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
曲线 $y=x \ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x-1}\right)$ 的斜渐近线方程为
$\text{A.}$ $y=x+\mathrm{e}$
$\text{B.}$ $y=x+\frac{1}{\mathrm{e}}$
$\text{C.}$ $y=x$
$\text{D.}$ $y=x-\frac{1}{\mathrm{e}}$
函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, \quad x \leq 0, \\ (x+1) \cos x, x>0\end{array}\right.$ 的一个原函数为
$\text{A.}$ ${F}(x)= \begin{cases}\ln \left(\sqrt{1+x^2}-x\right), & x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, & x>0\end{cases}$
$\text{B.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^2}-x\right)+1, x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, x>0\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $F(x)= \begin{cases}\ln \left(\sqrt{1+x^2}+x\right), & x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, & x>0\end{cases}$
$\text{D.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^2}+x\right)+1, x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, x>0\end{array}\right.$
已知 $\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}$ 满足:
$$
x_1=y_1=\frac{1}{2}, x_{n+1}=\sin x_n, y_{n+1}=y_n^2(n=1,2, \cdots)
$$
则当 $n \rightarrow \infty$ 时，（）
$\text{A.}$ $x_n$ 是 $y_n$ 的高阶无穷小
$\text{B.}$ $y_n$ 是 $x_n$ 的高阶无穷小
$\text{C.}$ $x_n$ 与 $y_n$ 是等价无穷小
$\text{D.}$ $x_n$ 与 $y_n$ 是同阶但不等价的无穷小
若微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的解在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界，则 $($ )
$\text{A.}$ $a < 0, b>0$
$\text{B.}$ $a>0, b>0$
$\text{C.}$ $a=0, b>0$
$\text{D.}$ $a=0, b < 0$
设函数 $y=f(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=2 t+|t|, \\ y=|t| \sin t\end{array}\right.$ 确定，则
$\text{A.}$ $f(x)$ 连续， $f^{\prime}(0)$ 不存在
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0)$ 存在，但 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续
$\text{C.}$ $f^{\prime}(x)$ 连续， $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在
$\text{D.}$ $f^{\prime \prime}(0)$ 存在， $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续
若函数 $f(\alpha)=\int_2^{+\infty} \frac{1}{x(\ln x)^{\alpha+1}} \mathrm{~d} x$ 在 $\alpha=\alpha_0$ 处取得最小值，则 $\alpha_0=(\quad)$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{\ln (\ln 2)}$
$\text{B.}$ $-\ln (\ln 2)$
$\text{C.}$ $\frac{1}{\ln 2}$
$\text{D.}$ $\ln 2$
设函数 $f(x)=\left(x^2+a\right) e^x$ ，若 $f(x)$ 没有极值点，但曲线 $y=f(x)$ 有拐点，则 $a$ 的取值范围是 ( )
$\text{A.}$ $[0,1)$
$\text{B.}$ $[1,+\infty)$
$\text{C.}$ $[1,2)$
$\text{D.}$ $[2,+\infty)$
设 $A, B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵， $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵， $M^*$ 为 $M$ 的伴随矩阵，则 $\left(\begin{array}{ll}A & E \\ O & B\end{array}\right)^*=(\quad)$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{cc}|A| B^* & -B^* A^* \\ O & |B| A^*\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{cc}|A| B^* & -A^* B^* \\ O & |B| A^*\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{cc}|B| A^* & -B^* A^* \\ O & |A| B^*\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}|B| A^* & -A^* B^* \\ O & |\boldsymbol{A}| B^*\end{array}\right)$
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_1+x_3\right)^2-4\left(x_2-x_3\right)^2$的规范型为 ( )
$\text{A.}$ $y_1^2+y_2^2$
$\text{B.}$ $y_1^2-y_2^2$
$\text{C.}$ $y_1^2+y_2^2-4 y_3^2$
$\text{D.}$ $y_1^2+y_2^2-y_3^2$
已知向量 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \beta_1=\left(\begin{array}{l}2 \\ 5 \\ 9\end{array}\right), \beta_2=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$, 若 $\gamma$既可由 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示，也可由 $\beta_1, \beta_2$ 线性表示，则 $\gamma=$ ( )
$\text{A.}$ $k\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 4\end{array}\right), k \in \mathbf{R}$
$\text{B.}$ $k\left(\begin{array}{c}3 \\ 5 \\ 10\end{array}\right), k \in \mathbf{R}$
$\text{C.}$ $k\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right), k \in \mathbf{R}$
$\text{D.}$ $k\left(\begin{array}{l}1 \\ 5 \\ 8\end{array}\right), k \in \mathbf{R}$
填空题 （共 12 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $f(x)=a x+b x^2+\ln (1+x)$ 与 $g(x)=\mathrm{e}^{x^2}-\cos x$ 是等价无穷小, 则 $a b=$
曲线 $y=\int_{-\sqrt{3}}^x \sqrt{3-t^2} \mathrm{~d} t$ 的弧长为
设函数 $z=z(x, y)$ 由 $e^z+x z=2 x-y$ 确定，则
$$
\left.\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\right|_{(1,1)}=
$$
曲线 $3 x^3=y^5+2 y^3$ 在 $x=1$ 对应点处的法线斜率为
设连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x+2)-f(x)=x, \int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\int_1^3 f(x) \mathrm{d} x=$
已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}a x_1+x_3=1 \\ x_1+a x_2+x_3=0 \\ x_1+2 x_2+a x_3=0 \\ a x_1+b x_2=2\end{array}\right.$ 有解, 其中 $a, b$ 为常数.若 $\left|\begin{array}{lll}a & 0 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a\end{array}\right|=4$ ，则 $\left|\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \\ a & b & 0\end{array}\right|=$ $\qquad$
设曲线 $L: y=y(x)(x>e)$ 经过点 $\left(e^2, 0\right), L$ 上任一点 $P(x, y)$ 到 $y$ 轴的距离等于该点处的切线在 $y$ 轴上的截距.
(1) 求 $y(x)$ 的表达式；
(2) 在 $\boldsymbol{L}$ 上求一点，使该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小, 并求此最小面积.
求函数 $f(x, y)=x e^{\cos y}+\frac{x^2}{2}$ 的极值.
已知平面区域
$$
D=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leq y \leq \frac{1}{x \sqrt{1+x^2}}\right., x \geq 1\right\}
$$
(1) 求 $D$ 的面积;
(2) 求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积.
设平面有界区域 $D$ 位于第一象限，由曲线
$$
x^2+y^2-x y=1, x^2+y^2-x y=2
$$
与直线 $y=\sqrt{3} x, y=0$ 围成，计算二重积分
$$
I=\iint_D \frac{1}{3 x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
设函数 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上具有 2 阶连续导数. 证明:
(1) 若 $f(0)=0$ ，则存在 $\xi \in(-a, a)$ ，使得
$$
f^{\prime \prime}(\xi)=\frac{1}{a^2}[f(a)+f(-a)]
$$
(2) 若 $f(x)$ 在 $(-a, a)$ 内取得极值，则存在 $\eta \in(-a, a)$ ，使得
$$
\left|f^{\prime \prime}(\eta)\right| \geq \frac{1}{2 a^2}|f(a)-f(-a)|
$$
设矩阵 $A$ 满足: 对任意 $x_1, x_2, x_3$ 均有
$$
A\left(\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
x_1+x_2+x_3 \\
2 x_1-x_2+x_3 \\
x_2-x_3
\end{array}\right) .
$$
(1) 求矩阵 $\boldsymbol{A}$.
(2) 求可逆矩阵 $P$ 与对角矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$ ，使得 $P^{-1} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{\rho}$