2021年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数二)



单选题 (共 10 题 ),每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0$ 时, $\int_0^{x^2}\left(e^{t^3}-1\right) \mathrm{d} t$ 是 $x^7$ 的
$\text{A.}$ 低阶无穷小 $\text{B.}$ 等价无穷小 $\text{C.}$ 高阶无穷小 $\text{D.}$ 同阶但非等价无穷小

函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\mathrm{e}^x-1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 连续且取极大值 $\text{B.}$ 连续且取极小值 $\text{C.}$ 可导且导数等于 0 $\text{D.}$ 可导且导数不为 0

有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为 $2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$, $-3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ ,当底面半径为 10 cm ,高为 5 cm 时,圆柱体的体积和表面积随时间变化的速率分别为
$\text{A.}$ $125 \pi \mathrm{cm}^3 / \mathrm{s}, 40 \pi \mathrm{cm}^2 / \mathrm{s}$ $\text{B.}$ $125 \pi \mathrm{cm}^3 / \mathrm{s},-40 \pi \mathrm{cm}^2 / \mathrm{s}$ $\text{C.}$ $-100 \pi \mathrm{cm}^3 / \mathrm{s}, 40 \pi \mathrm{cm}^2 / \mathrm{s}$ $\text{D.}$ $-100 \pi \mathrm{cm}^3 / \mathrm{s},-40 \pi \mathrm{cm}^2 / \mathrm{s}$

设函数 $f(x)=a x-b \ln x(a>0)$ 有两个零点,则 $\frac{b}{a}$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(e,+\infty)$ $\text{B.}$ $(0, e)$ $\text{C.}$ $\left(0, \frac{1}{e}\right)$ $\text{D.}$ $\left(\frac{1}{e},+\infty\right)$

设函数 $y=\sec x$ 在 $x=0$ 处的 2 次泰勒多项式为 $1+a x+b x^2$ ,则
$\text{A.}$ $a=1, b=-\frac{1}{2}$ $\text{B.}$ $a=1, b=\frac{1}{2}$ $\text{C.}$ $a=0, b=-\frac{1}{2}$ $\text{D.}$ $a=0, b=\frac{1}{2}$

设函数 $f(x, y)$ 可微,

$$
f\left(x+1, \mathrm{e}^x\right)=x(x+1)^2, f\left(x, x^2\right)=2 x^2 \ln x
$$


则 $\mathrm{d} f(1,1)=(\quad)$
$\text{A.}$ $\mathrm{d} x+\mathrm{d} y$ $\text{B.}$ $\mathrm{d} x-\mathrm{d} y$ $\text{C.}$ $\mathrm{d} y$ $\text{D.}$ $-\mathrm{d} y$

设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续,则 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=$
$\text{A.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{2 k-1}{2 n}\right) \frac{1}{2 n}$ $\text{B.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{2 k-1}{2 n}\right) \frac{1}{n}$ $\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{2 n} f\left(\frac{k-1}{2 n}\right) \frac{1}{n}$ $\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{2 n} f\left(\frac{k}{2 n}\right) \frac{2}{n}$

二次型

$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_2+x_3\right)^2-\left(x_3-x_1\right)^2
$$


的正惯性指数与负惯性指数依次为
$\text{A.}$ 2,0 $\text{B.}$ 1,1 $\text{C.}$ 2,1 $\text{D.}$ 1,2

设三阶矩阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right), B=\left(\beta_1, \beta_2, \beta_3\right)$ ,若向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 可以由向量组 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 线性表出,则
$\text{A.}$ $A x=0$ 的解均为 $B x=0$ 的解 $\text{B.}$ $A^T x=0$ 的解均为 $B^T x=0$ 的解 $\text{C.}$ $B x=0$ 的解均为 $\boldsymbol{A x}=0$ 的解 $\text{D.}$ $B^T x=0$ 的解均为 $A^T x=0$ 的解

已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -5\end{array}\right)$ ,若下三角可逆矩阵 $P$
和上三角可逆矩阵 $Q$ 使 $P A Q$ 为对角矩阵,则 $P, Q$ 可分别取为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ $\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ $\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ $\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$

填空题 (共 6 题 ),请把答案直接填写在答题纸上
$\int_{-\infty}^{+\infty}|x| 3^{-x^2} \mathrm{~d} x=$


设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=2 e^t+t+1, \\ y=4(t-1) e^t+t^2\end{array}\right.$ 确定,则 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{t=0}$.


设函数 $z=z(x, y)$ 由方程

$$
(x+1) z+y \ln z-\arctan (2 x y)=1
$$


确定,则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,2)}=$


已知 $f(t)=\int_1^{t^2} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^t \sin \frac{x}{y} \mathrm{~d} y$ ,则 $f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=$


微分方程 $y^{\prime \prime \prime}-y=0$ 的通解为 $y=$


多项式 $f(x)=\left|\begin{array}{cccc}x & x & 1 & 2 x \\ 1 & x & 2 & -1 \\ 2 & 1 & x & 1 \\ 2 & -1 & 1 & x\end{array}\right|$ 中 $x^3$ 项的系数为


解答题 (共 6 题 ),解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\int_0^x e^{t^2} d t}{e^x-1}-\frac{1}{\sin x}\right)$.



已知 $f(x)=\frac{x|x|}{1+x}$ ,求 $f(x)$ 的凹凸性及渐近线。



设 $f(x)$ 满足 $\int \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=\frac{1}{6} x^2-x+C, L$为曲线 $y=f(x)(4 \leq x \leq 9) , L$ 的弧长为 $s , L$ 绕 $x$ 轴旋转一周所形成的曲面的面积为 $A$ ,求 $s$ 和 $A$.



函数 $y=y(x)(x>0)$ 满足 $x y^{\prime}-6 y=$ -6 ,且 $y(\sqrt{3})=10$.
(1) 求 $y(x)$ ;
(2) $P$ 为曲线 $y=y(x)$ 上一点,曲线 $y=y(x)$ 在点 $P$ 的法线在 $y$ 轴上的截距为 $I_y$ ,为使得 $I_y$ 最小,求 $P$ 的坐标.



曲线 $\left(x^2+y^2\right)^2=x^2-y^2(x \geq 0, y \geq 0)$与 $x$ 轴围成的区域为 $D$ ,计算二重积分 $I=\iint_D x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.



设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & a & b\end{array}\right)$ 仅有两个不同的特征值. 若 $A$ 相似于对角矩阵,求 $a, b$ 的值,并求可逆矩阵 $P$ ,使得 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵。



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