单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-a}{x-a}=b$, 则 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{\sin f(x)-\sin a}{x-a}=$
$\text{A.}$ $b \sin a$
$\text{B.}$ $b \cos a$
$\text{C.}$ $b \sin f(a)$
$\text{D.}$ $b \cos f(a)$
函数 $f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x-1}} \ln |1+x|}{\left(e^x-1\right)(x-2)}$ 的第二类间断点的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上具有连续导数，则
$\text{A.}$ $\int_0^x\left[\cos f(t)+f^{\prime}(t)\right] \mathrm{d} t$ 是奇函数
$\text{B.}$ $\int_0^x\left[\cos f(t)+f^{\prime}(t)\right] \mathrm{d} t$ 是偶函数
$\text{C.}$ $\int_0^x\left[\cos f^{\prime}(t)+f(t)\right] \mathrm{d} t$ 是奇函数
$\text{D.}$ $\int_0^x\left[\cos f^{\prime}(t)+f(t)\right] \mathrm{d} t$ 是偶函数
已知幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_n(x-2)^n$ 的收敛区间为 $(-2,6)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x+1)^{2 n}$ 的收敛区间为
$\text{A.}$ $(-2,6)$
$\text{B.}$ $(-3,1)$
$\text{C.}$ $(-5,3)$
$\text{D.}$ $(-17,15)$
设 4 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 不可逆， $a_{12}$ 的代数余子式 $A_{12} \neq 0, \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 为矩阵 $A$ 的列向量组， $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则方程组 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=0$ 的通解为
$\text{A.}$ $x=k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+k_3 \alpha_3$ ，其中 $k_1, k_2, k_3$ 为任意常数
$\text{B.}$ $x=k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+k_3 \alpha_4$ ，其中 $k_1, k_2, k_3$ 为任意常数
$\text{C.}$ $x=k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_3+k_3 \alpha_4$ ，其中 $k_1, k_2, k_3$ 为任意常数
$\text{D.}$ $x=k_1 \alpha_2+k_2 \alpha_3+k_3 \alpha_4$ ，其中 $k_1, k_2, k_3$ 为任意常数
设 $A$ 为 3 阶方阵， $\alpha_1, \alpha_2$ 为 $A$ 属于特征值 1 的线性无关的特征向量， $\alpha_3$ 为 $A$ 的属于特征值 -1 的特征向量，则满足 $P^{-1} A P=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ 的可逆矩阵可为
$\text{A.}$ $\left(\alpha_1+\alpha_3, \alpha_2,-\alpha_3\right)$
$\text{B.}$ $\left(\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2,-\alpha_3\right)$
$\text{C.}$ $\left(\alpha_1+\alpha_3,-\alpha_3, \alpha_2\right)$
$\text{D.}$ $\left(\alpha_1+\alpha_2,-\alpha_3, \alpha_2\right)$
设 $A, B, C$ 为三个随机事件，且
$$
\begin{gathered}
P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}, P(A B)=0 \\
P(A C)=P(B C)=\frac{1}{12}
\end{gathered}
$$
则 $A, B, C$ 中恰有一个事件发生的概率为
$\text{A.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{5}{12}$
设随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布 $N\left(0,0 ; 1,4 ;-\frac{1}{2}\right)$ ，则下列随机变量中服从标准正态分布且与 $\boldsymbol{X}$ 独立的是
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}(X+Y)$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}(X-Y)$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}(X+Y)$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}(X-Y)$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $z=\arctan [x y+\sin (x+y)]$ ，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,\pi)}=$
已知曲线满足 $x+y+\mathrm{e}^{2 x y}=0$ ，则曲线在点 $(0,-1)$ 处的切线方程为
设某厂生产某产品的产量为 $Q$ ，产品的单价为 $P$ ，成本函数为 $C(Q)=100+13 Q$ ，需求量为 $Q(P)=\frac{800}{P+3}-2$ ，则厂商取得最大利润时的产量为
设平面区域
$$
D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x}{2} \leq y \leq \frac{1}{1+x^2}\right., 0 \leq x \leq 1\right\}
$$
则 $D$ 绕 $y$ 轴旋转所成旋转体的体积为
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}a & 0 & -1 & 1 \\ 0 & a & 1 & -1 \\ -1 & 1 & a & 0 \\ 1 & -1 & 0 & a\end{array}\right|=$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的分布律为
$$
P(X=k)=\frac{1}{2^k}, k=1,2, \ldots
$$
$Y$ 为 $X$ 被 3 除的余数，则 $E Y=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $a, b$ 为常数，且当 $n \rightarrow \infty$ 时， $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n-e$ 与 $\frac{b}{n^a}$ 为等价无穷小, 求 $a, b$ 的值.
求函数 $f(x, y)=x^3+8 y^3-x y$ 的极值.
设函数 $y=f(x)$ 满足
$$
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=0
$$
且有 $f(0)=1, f^{\prime}(0)=-1$.
(I) 求 $f(x)$ 的表达式；
(II) 设 $a_n=\int_{n \pi}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$.
设区域
$$
D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1, y \geq 0\right\}
$$
连续函数 $f(x, y)$ 满足
$$
f(x, y)=y \sqrt{1-x^2}+x \iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
计算 $\iint_D x f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
设函数 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上具有连续导数，
$$
f(0)=f(2)=0, M=\max _{x \in[0,2]}\{|f(x)|\}
$$
证明：
（I）存在 $\xi \in(0,2)$ ，使得 $\left|f^{\prime}(\xi)\right| \geq M$ ；
（I）若对任意的 $x \in(0,2),\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M$ ，则 $M=0$.
设二次型
$$
f\left(x_1, x_2\right)=x_1^2-4 x_1 x_2+4 x_2^2
$$
经正交变换 $\binom{x_1}{x_2}=Q\binom{y_1}{y_2}$ 化为二次型
$$
g\left(y_1, y_2\right)=a y_1^2+4 y_1 y_2+b y_2^2 \text {, 其中 } a \geq b \text {. }
$$
(I) 求 $a, b$ 的值;
(I) 求正交变换矩阵 $Q$.
设 $A$ 为 2 阶矩阵， $P=(\alpha, A \alpha)$ ，其中 $\alpha$ 是非零向量且不是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量。
(I) 证明 $\boldsymbol{P}$ 为可逆矩阵；
() 若 $A^2 \alpha+A \alpha-6 \alpha=0$ ，求 $P^{-1} A P$ ，并判断 $A$ 是否相似于对角矩阵.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid 0 < y < \sqrt{1-x^2}\right\}$ 上服从均匀分布，
$$
Z_1=\left\{\begin{array}{l}
1, X-Y>0 \\
0, X-Y \leq 0
\end{array}, Z_2=\left\{\begin{array}{l}
1, X+Y>0 \\
0, X+Y \leq 0
\end{array}\right.\right.
$$
(I) 求二维随机变量 $\left(Z_1, Z_2\right)$ 的概率分布;
(II) 求 $Z_1, Z_2$ 的相关系数.
设某种元件的使用寿命 $T$ 的分布函数为
$$
F(t)=\left\{\begin{array}{c}
1-e^{-(t / \theta)^m}, t \geq 0 \\
0, \quad \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
其中 $\theta, m$ 为参数且均大于零.
（I）求概率 $P\{T>t\}$ 与 $P\{T>s+t \mid T>s\}$ ，其中 $s>0, t>0$ ；
（II）任取 $n$ 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为 $t_1, t_2, \ldots, t_n$ ，若 $m$ 已知，求 $\theta$ 的最大似然估计 $\hat{\theta}$