2020年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数二)



单选题 (共 8 题 ),每题只有一个选项正确
当 $\boldsymbol{x} \rightarrow \mathbf{0}^{+}$时,下列无穷小量中最高阶的是
$\text{A.}$ $\int_0^x\left(e^{t^2}-1\right) \mathrm{d} t$ $\text{B.}$ $\int_0^x \ln \left(1+\sqrt{t^3}\right) \mathrm{d} t$ $\text{C.}$ $\int_0^{\sin x} \sin t^2 \mathrm{~d} t$ $\text{D.}$ $\int_0^{1-\cos x} \sqrt{\sin ^3 t} \mathrm{~d} t$

函数 $f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x-1}} \ln |1+x|}{\left(e^x-1\right)(x-2)}$ 的第二类间断点的个数为
$\text{A.}$ 1 $\text{B.}$ 2 $\text{C.}$ 3 $\text{D.}$ 4

$\int_0^1 \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{\pi^2}{4}$ $\text{B.}$ $\frac{\pi^2}{8}$ $\text{C.}$ $\frac{\pi}{4}$ $\text{D.}$ $\frac{\pi}{8}$

已知函数 $f(x)=x^2 \ln (1-x)$ ,则当 $n \geq 3$ 时, $f^{(n)}(0)=(\quad)$
$\text{A.}$ $-\frac{n!}{n-2}$ $\text{B.}$ $\frac{n!}{n-2}$ $\text{C.}$ $-\frac{(n-2)!}{n}$ $\text{D.}$ $\frac{(n-2)!}{n}$

关于函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y, x y \neq 0 \\ x, y=0 \\ y, x=0\end{array}\right.$ 给出下列结论
(1) $\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,0)}=1$
(2) $\left.\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right|_{(0,0)}=1$
(3) $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=0$
(4) $\lim _{y \rightarrow 0} \lim _{x \rightarrow 0} f(x, y)=0$

其中正确的个数为
$\text{A.}$ 4 $\text{B.}$ 3 $\text{C.}$ 2 $\text{D.}$ 1

设函数 $f(x)$ 在区间 $[-2,2]$ 上可导,且 $f^{\prime}(x)>f(x)>0$ ,则
$\text{A.}$ $\frac{f(-2)}{f(-1)}>1$ $\text{B.}$ $\frac{f(0)}{f(-1)}>e$ $\text{C.}$ $\frac{f(1)}{f(-1)} < e^2$ $\text{D.}$ $\frac{f(2)}{f(-1)} < e^3$

设 4 阶矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)$ 不可逆, $a_{12}$ 的代数余子式 $A_{12} \neq 0, \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 为矩阵 $A$ 的列向量组, $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵,则方程组 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=0$ 的通解为
$\text{A.}$ $x=k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+k_3 \alpha_3$ ,其中 $k_1, k_2, k_3$ 为任意常数 $\text{B.}$ $x=k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+k_3 \alpha_4$ ,其中 $k_1, k_2, k_3$ 为任意常数 $\text{C.}$ $x=k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_3+k_3 \alpha_4$ ,其中 $k_1, k_2, k_3$ 为任意常数 $\text{D.}$ $x=k_1 \alpha_2+k_2 \alpha_3+k_3 \alpha_4$ ,其中 $k_1, k_2, k_3$ 为任意常数

设 $A$ 为 3 阶方阵, $\alpha_1, \alpha_2$ 为属于特征值 1 的线性无关的特征向量, $\alpha_3$ 为 $A$ 的属于特征值 -1 的特征向量,则满足 $P^{-1} A P=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ 的可逆矩阵 $P$ 可为
$\text{A.}$ $\left(\alpha_1+\alpha_3, \alpha_2,-\alpha_3\right)$ $\text{B.}$ $\left(\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2,-\alpha_3\right)$ $\text{C.}$ $\left(\alpha_1+\alpha_3,-\alpha_3, \alpha_2\right)$ $\text{D.}$ $\left(\alpha_1+\alpha_2,-\alpha_3, \alpha_2\right)$

填空题 (共 6 题 ),请把答案直接填写在答题纸上
设 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{t^2+1} \\ y=\ln \left(t+\sqrt{t^2+1}\right)\end{array}\right.$ ,则 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{t=1}=$


$\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{y}}^1 \sqrt{x^3+1} \mathrm{~d} x=$


设 $z=\arctan [x y+\sin (x+y)]$ ,则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0, \pi)}=$


斜边长为 $2 a$ 的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中,且斜边与水面相齐,记重力加速度为 $g$ ,水的密度为 $\rho$ ,则三角形平板的一侧受到的水压力为


设 $y=y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0$ ,且 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=1$ ,则 $\int_0^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x=$


行列式 $\left|\begin{array}{cccc}a & 0 & -1 & 1 \\ 0 & a & 1 & -1 \\ -1 & 1 & a & 0 \\ 1 & -1 & 0 & a\end{array}\right|=$


解答题 (共 9 题 ),解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求曲线 $y=\frac{x^{1+x}}{(1+x)^x}(x>0)$ 的斜渐近线方程.



设 $f(x)$ 连续,且

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1, g(x)=\int_0^1 f(x t) \mathrm{d} t
$$


求 $g^{\prime}(x)$ 且证明 $g^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处连续.



求函数 $f(x, y)=x^3+8 y^3-x y$ 的极值.



设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有定义,且满足

$$
2 f(x)+x^2 f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{x^2+2 x}{\sqrt{1+x^2}}
$$

(I) 求 $f(x)$ ;
() 求曲线 $y=f(x), y=\frac{1}{2}, y=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 及 $y$ 轴围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积.



计算二重积分 $\iint_D \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{x} \mathrm{~d} \sigma$ ,其中区域 $D$ 由 $x=1, x=2, y=x$ 及 $x$ 轴围成.



已知 $f(x)=\int_1^x e^{t^2} \mathrm{~d} t$.
(I) 证明: $\exists \xi \in(1,2)$ ,使得 $f(\xi)=(2-\xi) e^{\xi^2}$ ;
(ㅍ) 证明: $\exists \eta \in(1,2)$ ,使得 $f(2)=\ln 2 \cdot \eta \cdot e^{\eta^2}$.



已知函数 $f(x)$ 可导,且 $f^{\prime}(x)>0$. 曲线 $y=f(x)(x \geq 0)$ 经过坐标原点 $O$ ,其上任意一点 $M$ 处的切线与 $x$ 轴相交于点 $T$ ,过点 $M$ 做 $M P$ 垂直于 $x$ 轴于点 $P$ ,且曲线 $y=f(x)$ 、直线 $M P$ 以及 $x$ 轴所围成图形的面积与三角形 $M T P$ 的面积比恒为 $3: 2$ ,求满足上述条件曲线方程.



二次型

$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2 a x_1 x_2+2 a x_1 x_3+2 a x_2 x_3
$$


经过可逆线性变换 $x=P y$ 变换为

$$
g\left(y_1, y_2, y_3\right)=y_1^2+y_2^2+4 y_3^2+2 y_1 y_2
$$
(I) 求 $a$ 的值;
(II) 求可逆矩阵 $P$.



设 $A$ 为 2 阶矩阵, $P=(\alpha, A \alpha)$ ,其中 $\alpha$ 是非零向量且不是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量. (I) 证明 $\boldsymbol{P}$ 为可逆矩阵; (I) 若 $A^2 \alpha+A \alpha-6 \alpha=0$ ,求 $P^{-1} A P$ ,并判断 $A$ 是否相似于对角矩阵.



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