解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
对自然数 $n$, 记
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C_n=\frac{1}{n+1} \mathrm{C}_{2 n}^n=\frac{(2 n)!}{n!(n+1)!}
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是卡塔兰数. 求证：对任意自然数 $m$ ，均有
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\sum_{\substack{i+j+k=m \\ i, j, k \in \mathbb{N}}} C_{i+j} C_{j+k} C_{k+i}=\frac{3}{2 m+3} C_{2 m+1} .
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对正整数 $n$ 和 $\{1,2, \cdots, n\}$ 的子集 $S$ ，称 $S$ 为" $n$ —好集合"当且仅当对任意 $x, y \in S$ (允许相同), 若 $x+y \leq n$, 则 $x+y \in S$. 定义 $r_n$ 为最小的实数，使得对任意正整数 $m \leq n$ ，都存在 $m$ 元的" $n$ —好集合"，满足其元素之和不超过 $m \cdot r_n$. 求证：存在实数 $\alpha$ ，使得对任意正整数 $n$ ，都有 $\left|r_n-\alpha n\right| \leq 2024$ 。
给定整数 $n>1$. 设实数 $x>1$ 满足
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x^{101}-n x^{100}+n x-1=0 .
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求证: 对任意实数 $0 < a < b < 1$, 存在正整数 $m$, 使得 $a < \left\{x^m\right\} < b$.
已知凸五边形 $A B C D E$ 满足 $B D=C D=A C$, 且 $B, C, D, E$ 共圆.若 $\angle B A C+\angle A E D=180^{\circ}, \angle D C A=\angle B D E$, 求证: $A B=D E$ 或 $A B=2 A E$.
设 $m, n$ 是自然数, $a_0, a_1, \cdots, a_m, b_0, b_1, \cdots, b_n$ 是非负实数. 对 $0 \leq k \leq$ $m+n$, 记 $c_k=\max _{i+j=k} a_i b_j$. 求证:
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\frac{c_0+c_1+\cdots+c_{m+n}}{m+n+1} \geq \frac{a_0+a_1+\cdots+a_m}{m+1} \cdot \frac{b_0+b_1+\cdots+b_n}{n+1} .
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已知整数 $m>1$ 使区间 $[2 m-\sqrt{m}+1,2 m]$ 中有质数. 求证: 对任意互不相同的正整数 $a_1, a_2, \cdots, a_m$, 都存在 $1 \leq i, j \leq m$, 满足 $\frac{a_i}{\left(a_i, a_j\right)} \geq m$.