单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
函数 $f(x)=\frac{x-x^3}{\sin \pi x}$ 的可去间断点的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 无穷多
当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)=x-\sin a x$ 与 $g(x)=x^2 \ln (1-b x)$是等价无穷小量，则
$\text{A.}$ $a=1, b=-1 / 6$
$\text{B.}$ $a=1, b=1 / 6$
$\text{C.}$ $a=-1, b=-1 / 6$
$\text{D.}$ $a=-1, b=1 / 6$
设函数 $z=f(x, y)$ 的全微分为 $\mathrm{d} z=x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y$ ，则点 $(0,0)$
$\text{A.}$ 不是 $f(x, y)$ 的连续点
$\text{B.}$ 不是 $f(x, y)$ 的极值点
$\text{C.}$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点
$\text{D.}$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点
设函数 $f(x, y)$ 连续，则 $\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_x^2 f(x, y) \mathrm{d} y+\int_1^2 \mathrm{~d} y \int_y^{4-y} f(x, y) \mathrm{d} x=$
$\text{A.}$ $\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_1^{4-x} f(x, y) \mathrm{d} y$
$\text{B.}$ $\int_1^2 \mathrm{~d} x \int_x^{4-x} f(x, y) \mathrm{d} y$
$\text{C.}$ $\int_1^2 \mathrm{~d} y \int_1^{4-y} f(x, y) \mathrm{d} x$
$\text{D.}$ $\int_1^2 \mathrm{~d} y \int_y^2 f(x, y) \mathrm{d} x$
若 $f^{\prime \prime}(x)$ 不变号，且曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,1)$ 处的曲率圆为 $x^2+y^2=2$ ，则函数 $f(x)$ 在区间 $(1,2)$ 内
$\text{A.}$ 有极值点，无零点
$\text{B.}$ 无极值点，有零点
$\text{C.}$ 有极值点，有零点
$\text{D.}$ 无极值点，无零点
设 $A, B$ 均为 2 阶矩阵， $A^*, B^*$ 分别为 $A, B$ 的伴随矩阵。若 $|A|=2,|B|=3$ ，则分块矩阵 $\left(\begin{array}{ll}O & A \\ B & O\end{array}\right)$ 的伴随矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{cc}O & 3 B^* \\ 2 A^* & O\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{cc}O & 2 B^* \\ 3 A^* & O\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{cc}O & 3 A^* \\ 2 B^* & O\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}O & 2 A^* \\ 3 B^* & O\end{array}\right)$
设 $A, P$ 均为 3 阶矩阵， $P^T$ 为 $P$ 的转置矩阵，且 $P^T A P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，若 $P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ ， $Q=\left(\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2, \alpha_3\right)$ ，则 $Q^T A Q$ 为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\int_0^{1-t} e^{-u^2} \mathrm{~d} u \\ y=t^2 \ln \left(2-t^2\right)\end{array}\right.$ 在 $(0,0)$ 处的切线方程为
已知 $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{k|x|} \mathrm{d} x=1$ ，则 $k=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 e^{-x} \sin n x \mathrm{~d} x=$
设 $y=y(x)$ 是方程 $x y+e^y=x+1$ 确定的隐函数，则 $\left.\frac{\mathrm{d} y^2}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{x=0}=$
函数 $y=x^{2 x}$ 在区间 $(0,1]$ 上的最小值为
设 $\alpha, \beta$ 为 3 维列向量， $\beta^T$ 为 $\beta$ 的转置，若矩阵 $\alpha \beta^T$ 相似于 $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$, 则 $\beta^T \alpha=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos x)[x-\ln (1+\tan x)]}{\sin ^4 x}$.
计算不定积分 $\int \ln \left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right) \mathrm{d} x(x>0)$.
设 $z=f(x+y, x-y, x y)$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，
求 $\mathrm{d} z$ 与 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
设非负函数 $y=y(x)(x \geq 0)$ 满足微分方程
$$
x y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2=0 ，
$$
当曲线 $y=y(x)$ 过原点时，其与直线 $x=1$ 及 $y=0$ 围成平面区域的面积为 2 ，求 $D$ 绕 $y$ 轴旋转所得旋转体体积.
求二重积分 $\iint_D(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中
$$
D=\left\{(x, y) \mid(x-1)^2+(y-1)^2 \leq 2, y \geq x\right\}
$$
设 $y=y(x)$ 是区间 $(-\pi, \pi)$ 内过点 $\left(-\frac{\pi}{\sqrt{2}}, \frac{\pi}{\sqrt{2}}\right)$ 的光滑曲线，当 $-\pi < x < 0$ 时，曲线上任一点处的法线都过原点，当 $0 \leq x < \pi$ 时，函数 $y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}+y+x=0$. 求 $y(x)$的表达式.
(1) 证明拉格朗日中值定理; 若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，则存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得
$$
f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a) ;
$$
(2) 证明: 若函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，在 $(0, \delta)(\delta>0)$ 内可导，且 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=A$ ，则 $f_{+}^{\prime}(0)$ 存在，且 $f_{+}^{\prime}(\mathrm{n})=A$.
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -2\end{array}\right) ， \xi_1=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)$.
(1) 求满足 $A \xi_2=\xi_1, A^2 \xi_3=\xi_1$ 的所有向量 $\xi_2, \xi_3$ ；
(2) 对 (I)中的任意向量 $\xi_2, \xi_3$ ，证明 $\xi_1, \xi_2, \xi_3$ 线性无关。
设二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a x_1^2+a x_2^2+(a-1) x_3^2+2 x_1 x_3-2 x_2 x_3
$$
(1) 求二次型 $f$ 的矩阵的所有特征值;
（2）若二次型 $f$ 的规范形为 $y_1^2+y_2^2$ ，求 $a$ 的值.