单选题 （共 11 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 为不恒等于零的奇函数，且 $f^{\prime}(0)$ 存在，则函数 $g(x)=\frac{f(x)}{x}$
$\text{A.}$ 在 $x=0$ 处左极限不存在
$\text{B.}$ 有跳跃间断点 $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$
$\text{C.}$ 在 $x=0$ 处右极限不存在
$\text{D.}$ 有可去间断点 $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$
曲线 $y=x e^{\frac{1}{x^2}}(\quad)$
$\text{A.}$ 仅有水平渐近线
$\text{B.}$ 仅有铅直渐近线
$\text{C.}$ 既有铅直又有水平渐近线
$\text{D.}$ 既有铅直又有斜渐近线
设函数 $f(x)=\left|x^3-1\right| \varphi(x)$ ，其中 $\varphi(x)$ 在 $x=1$ 处连续，则 $\varphi(1)=0$ 是 $f(x)$ 在 $x=1$ 处可导的
$\text{A.}$ 充分必要条件
$\text{B.}$ 必要但非充分条件
$\text{C.}$ 充分但非必要条件
$\text{D.}$ 既非充分也非必要条件
设可微函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 取得极小值，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $f\left(x_0, y\right)$ 在 $y=y_0$ 处的导数等于零
$\text{B.}$ $f\left(x_0, y\right)$ 在 $y=y_0$ 处的导数大于零
$\text{C.}$ $f\left(x_0, y\right)$ 在 $y=y_0$ 处的导数小于零
$\text{D.}$ $f\left(x_0, y\right)$ 在 $y=y_0$ 处的导数不存在
设 $p_n=\frac{a_n+\left|a_n\right|}{2}, q_n=\frac{a_n-\left|a_n\right|}{2}, n=1,2, \cdots$, 则下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 条件收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} p_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} q_n$ 都收敛
$\text{B.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 绝对收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} p_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} q_n$ 都收敛
$\text{C.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 条件收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} p_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} q_n$ 的敛散性都不定
$\text{D.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 绝对收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} p_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} q_n$ 的敛散性都不定
设三阶矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{array}\right)$ ，若 $A$ 的伴随矩阵的秩等于1，则必有
$\text{A.}$ $a=b$ 或 $a+2 b=0$
$\text{B.}$ $a=b$ 或 $a+2 b \neq 0$
$\text{C.}$ $a \neq b$ 且 $a+2 b=0$
$\text{D.}$ $a \neq b$ 且 $a+2 b \neq 0$
设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 均为 $n$ 维向量，下列结论不正确的是
$\text{A.}$ 若对于任意一组不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_s$ ，都有 $k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_s \alpha_s \neq 0$ ，则 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性无关
$\text{B.}$ 若 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_s$ ，都有 $k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_s \alpha_s=0$.
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 $s$.
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关
设矩阵 $B=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$. 已知矩阵 $A$ 相似于 $B$ ，则秩 $(A-2 E)$ 与秩 $(A-E)$ 之和等于
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
对于任意二事件 $A$ 和 $B$
$\text{A.}$ 若 $A B \neq \varnothing$ ，则 $A, B$ 一定独立
$\text{B.}$ 若 $A B \neq \varnothing$ ，则 $A, B$ 有可能独立
$\text{C.}$ 若 $A B=\varnothing$ ，则 $A, B$ 一定独立
$\text{D.}$ 若 $A B=\varnothing$ ，则 $A, B$ 一定不独立
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 和 $Y$ 都服从正态分布，且它们不相关，则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{X}$ 与 $\boldsymbol{Y}$ 一定独立
$\text{B.}$ $(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})$ 服从二维正态分布
$\text{C.}$ $\boldsymbol{X}$ 与 $Y$ 未必独立
$\text{D.}$ $\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y}$ 服从一维正态分布
将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： $A_1=\{\{$ 掷第一次出现正面 $\} ， A_2=\{$ 掷第二次出现正面 $\} ， A_3=\{$ 正、反面各出现一次 $\} ， A_4=\{$ 正面出现两次 $\}$ ，则事件
$\text{A.}$ $A_1, A_2, A_3$ 相互独立
$\text{B.}$ $A_2, A_3, A_4$ 相互独立
$\text{C.}$ $A_1, A_2, A_3$ 两两独立
$\text{D.}$ $A_2, A_3, A_4$ 两两独立
填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
极限 $\lim _{x \rightarrow 0}[1+\ln (1+x)]^{\frac{2}{x}}=$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^\lambda \cos \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 其导函数在 $x=0$ 处连续，则 $\boldsymbol{\lambda}$ 的取值范围是
已知曲线 $y=x^3-3 a^2 x+b$ 与 $x$ 轴相切，则 $b^2$ 可以通过 $a$ 表示为 $b^2=$
$\int_{-1}^1(|x|+x) e^{-|x|} \mathbf{d} x=$
设 $a>0 ， f(x)=g(x)=\left\{\begin{array}{cc}a, & 0 \leq x \leq 1, \\ 0, & \text { 其他， }\end{array} \quad D\right.$ 表示全平面，则 $I=\iint_D f(x) g(y-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
设 $n$ 维向量 $\alpha=(a, 0, \cdots, 0, a)^T, a < 0 ； E$ 为 $\boldsymbol{n}$ 阶单位矩阵，矩阵 $A=E-\alpha \alpha^T, B=E+\frac{1}{a} \alpha \alpha^T$ ，其中 $A$的逆矩阵为 $B$ ，则 $a=$
设 $A, B$ 均为三阶矩阵， $\boldsymbol{E}$ 是三阶单位矩阵. 已知
$$
A B=2 A+B, B=\left(\begin{array}{lll}
2 & 0 & 2 \\
0 & 4 & 0 \\
2 & 0 & 2
\end{array}\right),
$$
则 $(A-E)^{-1}=$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 和 $Y$ 的相关系数为 $0.5 ， E X-E Y=Q$ $E X^2=E Y^2=2$ ，则 $E(X+Y)^2=$
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相关系数为 0.9 ，若 $Z=X-0.4$ ，则 $Y$ 与 $Z$ 的相关系数为
设总体 $X$ 服从参数为 2 的指数分布， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，则当 $n \rightarrow \infty$ 时，
$$
Y_n=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2
$$
依概率收敛于
解答题 （共 16 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
(1) 设 $f(x)=\frac{1}{\pi x}+\frac{1}{\sin \pi x}-\frac{1}{\pi(1-x)}, x \in\left[\frac{1}{2}, 1\right]$.试补充定义 $f(1)$ 使得 $f(x)$ 在 $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 上连续.
(2) 设 $f(x)=\frac{1}{\sin \pi x}-\frac{1}{\pi x}-\frac{1}{\pi(1-x)}, x \in\left(0, \left.\frac{1}{2} \right\rvert\,\right.$. 试补充定义 $f(0)$ 使得 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{1}{2}\right]$ 上连续.
设 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，且满足 $\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial v^2}=1$ ，又 $g(x, y)=f\left[x y, \frac{1}{2}\left(x^2-y^2\right)\right]$, 求 $\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}$.
计算二重积分 $I=\iint_D e^{-\left(x^2+y^2-\pi\right)} \sin \left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.其中积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq \pi\right\}$.
求幂级数 $1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2 n}}{2 n}(|x| < 1)$ 的和函数 $f(x)$ 及其极值.
设 $F(x)=f(x) g(x)$, 其 中函数 $f(x), g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内满足以下条件: $f^{\prime}(x)=g(x), g^{\prime}(x)=f(x)$ ，且 $f(0)=0, f(x)+g(x)=2 e^x$.
(1) 求 $\boldsymbol{F}(x)$ 所满足的一阶微分方程;
(2) 求出 $F(x)$ 的表达式.
设函数 $f(x)$ 在 $[0,3]$ 上连续，在 $(0,3)$ 内可导，且
$$
f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1 .
$$
试证: 必存在 $\xi \in(0,3)$ ，使 $f^{\prime}(\xi)=0$.
设 $a>1, f(t)=a^t-a t$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内的驻点为 $t(a)$. 问 $a$ 为何值时， $t(a)$ 最小? 并求出最小值.
设 $y=f(x)$ 是第一象限内连接点 $A(0,1), B(1,0)$ 的一段连续曲线， $M(x, y)$ 为该曲线上任意一点，点 $C$ 为 $M$ 在 $x$ 轴上的投影， $O$ 为坐标原点. 若梯形 $O C M A$ 的面积与曲边三角形 $C B M$ 的面积之和为 $\frac{x^3}{6}+\frac{1}{3}$ ，求 $f(x)$ 的表达式.
设某商品从时刻 0 到时刻 $t$ 的销售量为
$$
x(t)=k t, t \in[0, T],(k>0) .
$$
欲在 $T$ 时将数量为 $A$ 的该商品销售完，试求
(1) $t$ 时的商品剩余量，并确定 $k$ 的值;
(2) 在时间段 $[0, T]$ 上的平均剩余量.
设有向量组 $(I): \alpha_1=(1,0,2)^T, \alpha_2=(1,1,3)^T, \alpha_3=$ $(1,-1, a+2)^T$ 和 $(I I): \beta_1=(1,2, a+3)^T, \beta_2=(2,1, a+6)^T$, $\beta_3=(2,1, a+4)^T$. 试问: 当 $a$ 为何值时，两个向量组等价?当 $a$ 为何值时，两个向量组不等价?
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & a\end{array}\right)$ 可逆，向量 $\alpha=\left(\begin{array}{l}1 \\ b \\ 1\end{array}\right)$ 是矩阵 $A^*$ 的
一个特征向量， $\lambda$ 是 $\alpha$ 对应的特征值，其中 $A^*$ 是矩阵 $A$ 的伴随矩阵. 试求 $a, b$ 和 $\lambda$ 的值.
已知齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{c}
\left(a_1+b\right) x_1+a_2 x_2+a_3 x_3+\cdots+a_n x_n=0 \\
a_1 x_1+\left(a_2+b\right) x_2+a_3 x_3+\cdots+a_n x_n=0 \\
a_1 x_1+a_2 x_2+\left(a_3+b\right) x_3+\cdots+a_n x_n=0 \\
\cdots \cdots \\
a_1 x_1+a_2 x_2+a_3 x_3+\cdots+\left(a_n+b\right) x_n=0
\end{array}\right.
$$
其中 $\sum_{i=1}^n a_i \neq 0$. 试讨论 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 和 $b$ 满足何种关系时，
(1) 方程组仅有零解;
（2）方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\boldsymbol{X}^T A \boldsymbol{X}=a x_1^2+2 x_2^2-2 x_3^2$ $+2 b x_1 x_3(b>0)$ ，其中二次型的矩阵 $A$ 的特征值之和为 1 ，特征值之积为 -12 .
(1) 求 $a, b$ 的值;
(2) 利用正交变换将二次型 $f$ 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
对于任意二事件 $A$ 和 $B$ ，
$$
\begin{aligned}
& 0 < P(A) < 1,0 < P(B) < 1, \\
& \rho=\frac{P(A B)-P(A) P(B)}{\sqrt{P(A) P(B) P(\bar{A}) P(\bar{B})}} \\
&
\end{aligned}
$$
称作事件 $\boldsymbol{A}$ 和 $B$ 的相关系数.
(1) 证明事件 $\boldsymbol{A}$ 和 $B$ 独立的充分必要条件是其相关系数等于零；
（2）利用随机变量相关系数的基本性质，证明 $|\rho| \leq 1$.
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}} & x \in[1,8] \\
0 & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
$F(x)$ 是 $X$ 的分布函数. 求随机变量 $Y=F(X)$ 的分布函数.
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 与 $\boldsymbol{Y}$ 独立，其中 $\boldsymbol{X}$ 的概率分布为
$$
X \sim\left(\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
0.3 & 0.7
\end{array}\right) \text {. }
$$
而 $\boldsymbol{Y}$ 的概率密度为 $f(y)$ ，求随机变量 $\boldsymbol{U}=\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Y}$ 的概率密度 $g(u)$