单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 和 $\varphi(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义， $f(x)$ 为连续函数，且 $f(x) \neq 0 ， \varphi(x)$ 有间断点，则
$\text{A.}$ $\varphi[f(x)]$ 必有间断点
$\text{B.}$ $[\varphi(x)]^2$ 必有间断点
$\text{C.}$ $f[\varphi(x)]$ 必有间断点
$\text{D.}$ $\frac{\varphi(x)}{f(x)}$ 必有间断点
曲线 $y=x(x-1)(2-x)$ 与 $x$ 轴所围图形的面积可表示为
$\text{A.}$ $-\int_0^2 x(x-1)(2-x) \mathrm{d} x$
$\text{B.}$ $\int_0^1 x(x-1)(2-x) \mathrm{d} x-\int_1^2 x(x-1)(2-x) \mathrm{d} x$
$\text{C.}$ $-\int_0^1 x(x-1)(2-x) \mathrm{d} x+\int_1^2 x(x-1)(2-x) \mathrm{d} x$
$\text{D.}$ $\int_0^2 x(x-1)(2-x) \mathrm{d} x$
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导，且对任意 $x_1, x_2$ ，当 $x_1>x_2$ 时，有 $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$ ，则
$\text{A.}$ 对任意 $x ， f^{\prime}(x)>0$
$\text{B.}$ 对任意 $x ， f^{\prime}(-x) < 0$
$\text{C.}$ 函数 $f(-x)$ 单调增加
$\text{D.}$ 函数 $-f(-x)$ 单调增加
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上 $f^{\prime \prime}(x)>0$ ，则 $f^{\prime}(0), f^{\prime}(1)$, $f(1)-f(0)$ 和 $f(0)-f(1)$ 的大小顺序是
$\text{A.}$ $f^{\prime}(1)>f^{\prime}(0)>f(1)-f(0)$
$\text{B.}$ $f^{\prime}(1)>f(1)-f(0)>f^{\prime}(0)$
$\text{C.}$ $f(1)-f(0)>f^{\prime}(1)>f^{\prime}(0)$
$\text{D.}$ $f^{\prime}(1)>f(0)-f(1)>f^{\prime}(0)$
设 $f(x)$ 可导， $F(x)=f(x)(1+|\sin x|)$ ，若 $F(x)$ 在 $x=0$ 处可导，则必有
$\text{A.}$ $f(0)=0$
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0)=0$
$\text{C.}$ $f(0)+f^{\prime}(0)=0$
$\text{D.}$ $f(0)-f^{\prime}(0)=0$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $y=\cos \left(x^2\right) \sin ^2 \frac{1}{x}$ ，则 $y^{\prime}=$
微分方程 $y^{\prime \prime}+y=-2 x$ 的通解为
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t^2 \\ y=t^3\end{array}\right.$ 在 $t=2$ 处的切线方程为
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{2}{n^2+n+2}+\cdots\right. \left.+\frac{n}{n^2+n+n}\right)=$
曲线 $y=x^2 e^{-x^2}$ 的渐近线方程为
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1-\sqrt{\cos x}}{x(1-\cos \sqrt{x})}$
设函数 $y=y(x)$ 方程 $x e^{f(y)}=e^y$ 确定，其中 $f$ 具有二阶导数，且 $f^{\prime} \neq 1$ ，求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$
设 $f\left(x^2-1\right)=\ln \frac{x^2}{x^2-2}$, 且 $f[\varphi(x)]=\ln x$ ，求 $\int \varphi(x) \mathrm{d} x$.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x \arctan \frac{1}{x^2}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ，试讨论 $f^{\prime}(x)$ 在
求摆线 $\left\{\begin{array}{l}x=1-\cos t \\ y=t-\sin t\end{array}\right.$ 一拱 $(0 \leq t \leq 2 \pi)$ 的弧长.
设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 $\left.v\right|_{t=0}=v_0$ ，已知阻力与速度成正比 (比例常数为 1 )，问 $t$ 为多少时此质点的速度为 $\frac{v_0}{3}$ ? 并求到此时刻该质点所经过的路程.
求函数 $f(x)=\int_0^{x^2}(2-t) e^{-t} \mathrm{~d} t$ 的最大值和最小值.
设 $y=e^x$ 是微分方程 $x y^{\prime}+p(x) y=x$ 的一个解，求此微分方程满足条件 $\left.y\right|_{x=\ln 2}=0$ 的特解.
如图，设曲线 $L$ 的方程为 $y=f(x)$ ，且 $f^{\prime \prime}(x)>0$ ，又 $M T 、 M P$ 分别为该曲线在点 $M\left(x_0, y_0\right)$ 处的切线和法线，已知线段 $M P$ 的长度为 $\frac{\left[1+\left(y_0^{\prime}\right)^2\right]^{\frac{3}{2}}}{y_0^{\prime \prime}}$ (其中， $y_0^{\prime}=y^{\prime}\left(x_0\right)$, $\left.y_0^{\prime \prime}=y^{\prime \prime}\left(x_0\right)\right)$ ，试推导出点 $P(\xi, \eta)$ 的坐标表达式.
设 $f(x)=\int_0^x \frac{\sin t}{\pi-t} \mathrm{~d} t$ ，计算 $\int_0^\pi f(x) \mathrm{d} x$
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$, 且 $f^{\prime \prime}(x)>0$ ，证明 $f(x)>x$.