单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $A=\left\{x \mid-5 < x^3 < 5\right\}, B=\{-3,-1,0,2,3\}$, 则 $A \cap B=$
$\text{A.}$ $\{-1,0\}$
$\text{B.}$ $\{2,3\}$
$\text{C.}$ $\{-3,-1,0\}$
$\text{D.}$ $\{-1,0,2\}$
若 $\frac{z}{z-1}=i+1$, 则 $z=$
$\text{A.}$ $-1-i$
$\text{B.}$ $-1+i$
$\text{C.}$ $1-i$
$\text{D.}$ $1+i$
已知向量 $\vec{a}=(0,1), \vec{b}=(2, x)$ 若 $\vec{b} \perp(\vec{b}-4 \vec{a})$, 则 $x=$
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
已知 $\cos (\alpha+\beta)=m, \tan \alpha \tan \beta=2$, 则 $\cos (\alpha-\beta)=(\quad)$
$\text{A.}$ $-3 m$
$\text{B.}$ $-\frac{m}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{m}{3}$
$\text{D.}$ $3 m$
已知圆柱和圆锥的底面半径相等, 侧面积相等, 且它们的高均为 $\sqrt{3}$, 则圆椎的体积为
$\text{A.}$ $2 \sqrt{3} \pi$
$\text{B.}$ $3 \sqrt{3} \pi$
$\text{C.}$ $6 \sqrt{3} \pi$
$\text{D.}$ $9 \sqrt{3} \pi$
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x^2-2 a x-a, x < 0 \\ e^x+\ln (x+1), x \geq 0\end{array}\right.$ 在 $R$ 上单调递增, 则 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(-\infty, 0]$
$\text{B.}$ $[-1,0]$
$\text{C.}$ $[-1,1]$
$\text{D.}$ $[0,+\infty)$
当 $x \in[0,2 \pi]$ 时, 曲线 $y=\sin x$ 与 $y=2 \sin \left(3 x-\frac{\pi}{6}\right)$ 的交点个数为
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 8
已知函数的定义域为 $R, f(x)>f(x-1)+f(x-2)$ 且 $x < 3$ 时 $f(x)=x$, 则下列结论中一定正确的是
$\text{A.}$ $f(10)>100$
$\text{B.}$ $f(20)>1000$
$\text{C.}$ $f(10) < 1000$
$\text{D.}$ $f(20) < 10000$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
为了解推动出口后的亩收入 (单位: 万元) 情况, 从该种植区抽取样本, 得到推动出口后亩收入的样本均值 $\bar{X}=$ 2.1, 样本方差 $S^2=0.01$, 已知该种植区以往的亩收入 $X$ 服从正态分布 $N\left(1.8,0.1^2\right)$, 假设失去出口后的亩收入 $Y$ 服从正态分布 $N\left(\bar{X}, S^2\right)$, 则 $\left(\right.$ ). (若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 则 $P(Z < \mu+\sigma) \approx 0.8413$ )
$\text{A.}$ $P(X>2)>0.2$
$\text{B.}$ $P(X>2) < 0.5$
$\text{C.}$ $P(Y>2)>0.5$
$\text{D.}$ $P(Y>2) < 0.8$
设函数 $f(x)=(x-1)^2(x-4)$, 则
$\text{A.}$ $x=3$ 是 $f(x)$ 的极小值点
$\text{B.}$ 当 $0 < x < 1$ 时, $f(x) < f\left(x^2\right)$
$\text{C.}$ 当 $1 < x < 2$ 时, $-4 < f(2 x-1) < 0$.
$\text{D.}$ 当 $-1 < x < 0$ 时, $f(2-x)>f(x)$
如图造型可以看作图中的曲线 $\mathrm{C}$ 的一部分, 已知 $\mathrm{C}$ 过坐标原点 0 , 且 $\mathrm{C}$ 上的点满足横坐标大于$-2$ , 到点 $F(2,0)$ 的距离与到定直线 $x=a(a < 0)$ 的距离之积为 4 , 则
$\text{A.}$ $a=-2$
$\text{B.}$ 点 $(2 \sqrt{2}, 0)$ 在 $\mathrm{C}$ 上
$\text{C.}$ $\mathrm{C}$ 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 1
$\text{D.}$ 当点 $\left(x_0, y_0\right)$ 在 C 上时, $y_0 \leq \frac{4}{x_0+2}$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左右焦点分别为 $F_1, F_2$, 过 $F_2$ 后平行于 $y$ 轴的直线交 $C$ 于 $A, B$ 两点, 若 $\left|F_1 A\right|=$ $13,|A B|=10$, 则 $C$ 的离心率为
若曲线 $y=e^x+x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线也是曲线 $y=\ln (x+1)+a$ 的切线, 则 $a=$
甲乙两人各有四张卡片. 每张卡片上标有一个数字, 甲的卡片上分别标有数字 $1,3,5,7$, 飞的卡片上分别标有数字2,4,6,8。两人进行四轮比赛, 在每轮比赛中, 两人各自从自己持有的卡片中随机选一张并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得 1 分, 数字小的人得 0 分。然后各自弃置此轮所迭的卡片 (弃置的卡片在比后的轮次中不能使用), 则四轮比赛后, 甲的总得分小于 2 的概率为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知 $\sin C=\sqrt{2} \cos B, a^2+b^2-c^2=\sqrt{2} a b$
（1）求 $B$;
（2）若 $\triangle A B C$ 的面积 $3+\sqrt{3}$, 求 $c$
已知 $A(0,3)$ 和 $P\left(3, \frac{3}{2}\right)$ 为椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 上两点
(1) 求 $C$ 的离心率:
(2) 若过 $P$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于另一点 $B$, 且 $\triangle A B P$ 的面积为 9 , 求 $l$ 的方程.
如图: 四棱椎 $P-A B C D$ 中, $P A \perp$ 底面 $A B C D, P A=A C=2, B C=1, A B=\sqrt{3}$
（1）若 $A D \perp P B$, 证明: $A D / /$ 平面 $P B C$ :
（2）若 $A D \perp D C$, 且二面角 $A-C P-D$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{7}$, 求 $A D$
已知函数 $f(x)=\ln \frac{x}{2-x}+a x+b(x-1)^3$
(1) 若 $b=0$, 且 $f^{\prime}(x) \geq 0$, 求 $a$ 的最小值:
(2) 证明: 曲线 $f(x)$ 为中心对称函数;
(3) 若 $f(x)>-2$, 当且仅当 $1 < x < 2$, 求 $b$ 的取值范围。
设 $m$ 为正整数, 数列 $a_1, a_2, \ldots, a_{4 m+2}$ 是公差不为 0 的等差数列, 若从中删去两项 $a_i$ 和 $a_j(i < j)$ 后剩余的 $4 m$ 项可被平均分为 $m$ 组, 且每组的 4 个数都能构成等差数列, 则称数列 $a_1, a_2, \ldots, a_{4 m+2}$ 是 $(i, j)--$ 可分数列.
(1) 写出所有的 $(i < j), 1 \leq i < j \leq 6$, 使数列 $a_1, a_2, \ldots, a_6$ 是 $(i < j)--$ 可分数列:
(2) 当 $m \geq 3$ 时, 证明: 数列 $a_1, a_2, \ldots, a_{4 m+2}$ 是 $(2,13)--$ 可分数列:
(3) 从 $1,2, \ldots, 4 m+2$ 中一次任取两个数 $i$ 和 $j(i < j)$ 记数列 $a_1, a_2, \ldots, a_{4 m+2}$ 是 $(i < j)--$ 可分数列的概率为 $P_m$, 证明:
$$
P_m>\frac{1}{8} \text {. }
$$