单选题 (共 10 题 ),每题只有一个选项正确
下面四幅图是我国一些博物馆的标志, 其中既是轴对称图形, 又是中心对称图形的是
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
实数 $a, b$ 在数轴上的对应点的位置如图所示, 下列结论中正确的是
$\text{A.}$ $a < -2$
$\text{B.}$ $b < 1$
$\text{C.}$ $a>b$
$\text{D.}$ $-a>b$
下列运算中,计算正确的是
$\text{A.}$ $m^2+m^3=2 m^5$
$\text{B.}$ $\left(-2 a^2\right)^3=-6 a^6$
$\text{C.}$ $(a-b)^2=a^2-b^2$
$\text{D.}$ $\sqrt{6} \div \sqrt{2}=\sqrt{3}$
不透明的袋子中装有红、绿小球各一个,除颜色外两个小球无其他差別. 从中随机摸出一个小球,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{4}$
如图,直线 $m / / n, \triangle A B C$ 是等边三角形, 顶点 $B$ 在直线 $n$ 上, 直线 $m$交 $A B$ 于点 $E$, 交 $A C$ 于点 $F$, 若 $\angle 1=140^{\circ}$, 则 $\angle 2$ 的度数是
$\text{A.}$ $80^{\circ}$
$\text{B.}$ $100^{\circ}$
$\text{C.}$ $120^{\circ}$
$\text{D.}$ $140^{\circ}$
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, 根据尺规作图痕迹, 下列说法不一定正确的是
$\text{A.}$ $A F=B F$
$\text{B.}$ $A E=\frac{1}{2} A C$
$\text{C.}$ $\angle D B F+\angle D F B=90^{\circ}$
$\text{D.}$ $\angle B A F=\angle E B C$
班级进行朗诵比赛, 老师决定用 100 元购买 A, B 两种笔记本 (两种笔记本都买) 作为奖品发给学生, 其中 $\mathrm{A}$ 种笔记本每本 8 元, B 种笔记本每本 12 元, 在钱用尽的前提下, 则可供老师选择的购买方案有
$\text{A.}$ 4 种
$\text{B.}$ 5 种
$\text{C.}$ 6 种
$\text{D.}$ 7 种
如图.拖物线 $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ 交 $x$ 轴于点 $A(-1,0)$, 对称轴为 $x=1$, 与 $x$ 轴的另一个交点为 $B, C$ 为抛物线的顶点. 下列结论: (1) $a b c < 0$;(2) $4 a+2 b+c>0$; (3) $a+b>0$ (4) $c < 4 b$; (5) 若 $\triangle A B C$ 是等罗直角三角形, 则 $a=-\frac{1}{3}$. 其中结论正确的个数有
$\text{A.}$ 2 个
$\text{B.}$ 3 个
$\text{C.}$ 4 个
$\text{D.}$ 5个
填空题 (共 7 题 ),请把答案直接填写在答题纸上
.中国科学技术大学利用“墨子号” 科学实验卫星,首次实现在地球上相距 1200 公里的两个地面站之间的量子态远程传输, 对于人类构建全球化量子信息处理和量子通信网络迈出重要一步, 将数据 1200 用科学记数法表示为
在函数 $y=\frac{\sqrt{3-x}}{x^0-3}$ 中,自变量 $x$ 的取值范围是
已知关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x}{x-2}-4=\frac{k}{2-x}$ 的解为正数, 则 $k$ 的取值范围是
把一个扇形围成一个圆锥的侧面, 这个圆锥的主视图是腰长为 4 , 底边长为 2 的等腰三角形,则这个扇形的圆心角为
如图, 反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$ 的图象经过矩形 $A B C D$ 对角线的交点 $E$ 和点 $A$, 点 $B, C$ 在 $x$ 轴上, $\triangle O C E$ 的面积为 6 ,则 $k=$
在边长为 4 的正方形 $A B C D$ 中, 连接对角线 $A C, B D, P$ 是正方形边上或对角线上的一点,若 $P B=3 P C$, 则 $P C$ 的长为
如图, 直线 $A M: y=x+1$ 与 $x$ 轴交于点 $M$, 与 $y$ 轴交于点 $A$, 以 $O A$ 为边在 $O A$ 右侧作正方形 $O A B C$, 过点 $B$ 作 $E O_1 \perp M A$ 交 $M A$ 于点 $E$, 交 $x$ 轴于点 $O_1$, 过点 $O_1$ 作 $x$ 轴的垂线交 $M A$ 于点 $A_1$, 连接 $A_1 B$; 以 $O_1 A_1$ 为边在 $O_1 A_1$ 右侧作正方形 $O_1 A_1 B_1 C_1$, 点 $B_1$ 的坐标为 $(5,3)$,过点 $B_1$ 作 $E_1 O_2 \perp M A$ 交 $M A$ 于点 $E_1$, 交 $x$ 轴于点 $O_2$,过点 $O_2$ 作 $x$ 轴的垂线交 $M A$ 于点 $A_2$, 连接 $A_2 B_1$; 以 $O_2 A_2$ 为边在 $O_2 A_2$ 右侧作正方形 $O_2 A_2 B_2 C_2 \cdots \cdots$. 则 $A_{2024} B_{2023}$ 的长为
解答题 (共 7 题 ),解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
(1)计算: $4 \sin 60^{\circ}-\sqrt{12}-\left(\frac{1}{2}\right)^1+(\sqrt{3}-1)^{\circ}$ ;
(2)分解因式; $9 a^2 x-x^3$.
某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间” 的调查, 根据调查告果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图.
频数分布表
请根据图表中的信息解答下列问题:
(1) 频数分布表中的 $a=$ $\qquad$ ,$b=$ $\qquad$ ,$n=$ $\qquad$ ;
(2) 请补全频数分布直方图;
(3) 若该校九年级共有 480 名学生, 试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于 $120 \mathrm{~min}$ 的学生人数.
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C$, 以 $A B$ 为直径的 $\odot O$ 分别与 $B C, A C$ 交于点 $D, E$, 过点 $D$作 $\odot O$ 的切线 $D F$, 交 $A C$ 于点 $F$.
(1) 求证 $D F \perp A C$;
(2) 若 $\odot O$ 的半径为 $4, \angle C D F=22.5^{\circ}$, 求阴影部分的面积.
甲、乙两地相距 480 千米,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地 (两车行驶过程中速度均保持不变).如图,折线 $A B C D$ 表示轿车离甲地的距离 $y$ (单位:千米)与时间 $x$ (单位:小时) 之间的函数关系,线段 $O E$ 表示货车离甲地的距离 $y$ (单位:千米)与时间 $x$ (单位:小时)之间的函数关系,请你根据图象信息,解答下列问题:
(1) 线段 $B C$ 表示轿车在途中停留了 $\qquad$小时, $a=$ $\qquad$ ;
(2) 求线段 $C D$ 对应的函数解析式;
(3) 轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车?
(4) 请你直接写出货车出发多长时间两车相距 30 千米(两车均在行驶).
利用正方形纸片的折叠开展数学活动, 探究体会在正方形折叠过程中, 图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法.
如图 ①,E 为正方形 $A B C D$ 的 $A B$ 边上的一个动点, $A B=6$, 将正方形 $A B C D$ 对折, 便点 $A$ 与点 $B$ 重合, 点 $C$ 与点 $D$ 重合, 折痕为 $M N$.
思考探索
(1) 将正方形 $A B C D$ 展平后沿过点 $C$ 的直线 $C E$ 折叠, 使点 $B$ 的对应点 $B^{\prime}$ 落在 $M N$ 上, 折痕为 $E C$, 连接 $D B^{\prime}$, 如图 (2), 请根据以上条件填空.
①点 $B^{\prime}$ 在以点 $E$ 为圆心, $\qquad$的长为半径的圆上(填线段);
②$B^{\prime} M$ 的长为 $\qquad$
拓展延伸
(2) 当 $A E=2$ 时, 正方形 $A B C D$ 沿过点 $E$ 的直线 $l$ (不过点 B) 折叠后, 点 $B$ 的对应点 $\mathrm{B}^{\prime}$ 落在正方形 $A B C D$ 的内部或边上.
① 求 $\triangle A B B^{\prime}$ 面积的最大值;
②连接 $A B^{\prime}, P$ 为 $A E$ 的中点, 点 $Q$ 在 $A B^{\prime}$ 上,连接 $P Q, \angle A Q P=\angle A B^{\prime} E$, 求 $B^{\prime} C+2 P Q$的最小值.
如图,拋物线 $y=-x^2+b x+c$ 与 $x$ 轴相交于 $A, B$ 两点 (点 $A$ 在点 $B$ 的左侧), 顶点 $D(1,4)$ 在直线 $l : y=\frac{4}{3} x+t$ 上,动点 $P$ 在抛物线上.
(1)求这条抛物线对应的函数表达式,
(2) 直线 $l$ 交 $x$ 轴于点 $C$, 则点 $C$ 的坐标为 $\qquad$ '
(3) 设点 $P$ 的横坐标为 $m$, 当 $1 < m < 3$ 时, 求四边形 $D C B P$ 面积的最大值;
(4) 设直线 $A P, B P$ 与抛物线的对称轴分别相交于点 $E, F$, 点 $G$ 为点 $E$ 关于 $x$ 轴的对称点, 请探索四边形 $A F B G$ 的面积是否随着点 $P$ 的运动而发生变化? 若不变, 求出这个四边形的面积; 若变化,说明理由.