解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
4 阶行列式 $D_4=\left|\begin{array}{cccc}1 & -1 & 1 & x-1 \\ 1 & -1 & x+1 & -1 \\ 1 & x-1 & 1 & -1 \\ x+1 & -1 & 1 & -1\end{array}\right|=$
$$
\text { 设 } n \text { 阶矩阵 } A=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & a & a & \cdots & a \\
a & 1 & a & \cdots & a \\
a & a & 1 & \cdots & a \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a & a & a & \cdots & 1
\end{array}\right), n \geq 3 \text { 且 }
$$
$r(A)=n-1$, 则 $a=$
设 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)$ 为 4 阶矩阵， $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵. 若单个向量 $\beta \neq 0$ 是方程组 $\boldsymbol{A} X=0$ 的一个基础解系，则 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{X}=0$的基础解系含有解向量的个数是
实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+2 x_2\right)^2+\left(2 x_2-x_3\right)^2$ $+\left(x_1+x_3\right)^2$ 的正惯性指数为
设 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}a \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}1 \\ a \\ 1\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ a\end{array}\right), \alpha_4=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)$ 且 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$与 $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 等价，则 $a$ 满足
设 $\sigma$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\sigma$ 有 $n$ 个不同的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$, 则 $\sigma$ 的不变子空间的个数是
如果实系数多项式 $f(x)$ 满足: $f\left(2 x^2+1\right)=2[f(x)]^2+1,(\forall x \in \mathbb{R}), f(0)=0 .$
证明: $f(x) \equiv x,(\forall x \in \mathbb{R})$.
设 $A=\left(\begin{array}{ll}1 & a \\ 1 & 0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & b\end{array}\right)$, 当 $a, b$ 为何值时，存在矩阵 $C$.使得 $A C-C A=B$ ，并求所有的矩阵 $C$.
设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵， $n>1$ ，如果对任意 $n$ 阶矩阵 $B$ ，都有
$|A+B|=|A|+|B| .$
证明: $A=O$.
已知实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a x_1{ }^2+a x_2{ }^2+a x_3{ }^2$
$+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3+2 x_2 x_3$ 用正交替换 $X=T Y$ 化为标准形
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=b{y_2}^2+c y_3{ }^2,(b, c \neq 0) .
$$
求 $a, b, c$ 并写出正交替换及所化成的标准二次型.
求矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ -3 & -6 & -1\end{array}\right)$ 的约当标准形 $J$, 并求可逆矩阵 $T$.使得 $T^{-1} A T=J$.
设 $\alpha_1=\left(\begin{array}{c}a_1+b \\ a_1 \\ \vdots \\ a_1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{c}a_2 \\ a_2+b \\ \vdots \\ a_2\end{array}\right), \cdots, \alpha_n=\left(\begin{array}{c}a_n \\ a_n \\ \vdots \\ a_n+b\end{array}\right)$. 记 $W=L\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)$ ，其中 $\sum_{i=1}^n a_i \neq 0$ ，求 $W$ 的维数与一组基.
设 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵，且 $A^2=E$ ，证明:
(1) $r(A+E)+r(A-E)=n$.
(2) $A$ 与对角矩阵相似.
(3) $\mathbb{R}^{n \times n}=V_1 \oplus V_2$ ，其中
$$
\begin{aligned}
& V_1=\left\{\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid(A+E) X=0\right\}, \\
& V_2=\left\{\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid(A-E) \boldsymbol{X}=\mathbf{0}\right\}
\end{aligned}
$$
设 $V=\mathbb{P}^{2 \times 2}$ 是数域 $\mathbb{P}$ 上的线性空间，记 $A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in V$ ，线性变换： $\sigma: X \mapsto A X, \forall X \in \mathbb{P}^{2 \times 2}$.
(1) 求线性变换 $\sigma$ 在基:
$$
E_{11}=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right), E_{12}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right), E_{21}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right), E_{22}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)
$$
下的矩阵.
（2）如果 $A$ 相似于对角矩阵，证明：线性变换 $\sigma$ 在 $V$ 的某组基下的矩阵是对角矩阵.