单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设全集 $U=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$, 集合 $A=\{-1,0,1,2\}, B=\{-3,0,2,3\}$, 则 $A \cap(Q_U B)=(\quad)$
$\text{A.}$ $\{-3,3\}$
$\text{B.}$ $\{0,2\}$
$\text{C.}$ $\{-1,1\}$
$\text{D.}$ $\{-3,-2,-1,1,3\}$
设 $a \in \mathbf{R}$, 则“ $a>1$ ”是“ $a^{2}>a$ ”的（ )
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
函数 $y=\frac{4 x}{x^{2}+1}$ 的图象大致为（）
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
从一批零件中抽取 80 个, 测量其直径 (单位: $\mathrm{mm}$ ), 将所得数据分为 9 组:
$[5.31,5.33),[5.33,5.35), \cdots,[5.45,5.47],[5.47,5.49]$, 并整理得到如下频率分布直方图, 则在被抽取的零 件中, 直径落在区间 $[5.43,5.47)$ 内的个数为（）
$\text{A.}$ 10
$\text{B.}$ 18
$\text{C.}$ 20
$\text{D.}$ 36
若棱长为 $2 \sqrt{3}$ 的正方体的顶点都在同一球面上, 则该球的表面积为 ( )
$\text{A.}$ $12 \pi$
$\text{B.}$ $24 \pi$
$\text{C.}$ $36 \pi$
$\text{D.}$ $144 \pi$
设双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$, 过抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点和点 $(0, b)$ 的直线为 $l$. 若 $C$ 的一 条渐近线与 $l$ 平行, 另一条渐近线与 $l$ 垂直, 则双曲线 $C$ 的方程为（）
$\text{A.}$ $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}=1$
$\text{B.}$ $x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$
$\text{C.}$ $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$
$\text{D.}$ $x^{2}-y^{2}=1$
已知函数 $f(x)=\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$. 给出下列结论:
(1) $f(x)$ 的最小正周期为 $2 \pi$;
(2) $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 是 $f(x)$ 的最大值;
(3)把函数 $y=\sin x$ 的图象上所有点向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度, 可得到函数 $y=f(x)$ 的图象.
其中所有正确结论的序号是
$\text{A.}$ (1)
$\text{B.}$ (1)(3)
$\text{C.}$ (2)(3)
$\text{D.}$ (1)(2)(3)
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{3}, & x . .0, \\ -x, & x < 0 .\end{array}\right.$ 若函数 $g(x)=f(x)-\left|k x^{2}-2 x\right| \quad(k \in \mathbf{R})$ 恰有 4 个零点, 则 $k$ 的取值范围 是 ( )
$\text{A.}$ $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right) \cup(2 \sqrt{2},+\infty)$
$\text{B.}$ $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right) \cup(0,2 \sqrt{2})$
$\text{C.}$ $(-\infty, 0) \cup(0,2 \sqrt{2})$
$\text{D.}$ $(-\infty, 0) \cup(2 \sqrt{2},+\infty)$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\mathrm{i}$ 是虚数单位, 复数 $\frac{8-i}{2+i}=$
在 $\left(x+\frac{2}{x^{2}}\right)^{5}$ 的展开式中, $x^{2}$ 的系数是
已知直线 $x-\sqrt{3} y+8=0$ 和圆 $x^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$ 相交于 $A, B$ 两点. 若 $|A B|=6$, 则 $r$ 的值为
已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{3}$. 假定两球是否落入盒子互不影响, 则甲、乙两球都落入 盒子的概率为 ; 甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为
已知 $a>0, b>0$, 且 $a b=1$, 则 $\frac{1}{2 a}+\frac{1}{2 b}+\frac{8}{a+b}$ 的最小值为
如图, 在四边形 $A B C D$ 中, $\angle B=60^{\circ}, \quad A B=3, \quad B C=6$, 且 $\overrightarrow{A D}=\lambda \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{A B}=-\frac{3}{2}$, 则实数 $\lambda$ 的值为 , 若 $M, N$ 是线段 $B C$ 上的动点, 且 $|\overrightarrow{M N}|=1$, 则 $\overrightarrow{D M} \cdot \overrightarrow{D N}$ 的最小值为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$. 已知 $a=2 \sqrt{2}, b=5, c=\sqrt{13}$.
(I) 求角 $C$ 的大小;
(II) 求 $\sin A$ 的值;
(III) 求 $\sin \left(2 A+\frac{\pi}{4}\right)$ 的值.
如图, 在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, $C C_{1} \perp$ 平面 $A B C, A C \perp B C, A C=B C=2, C C_{1}=3$, 点 $D, E$ 分别在棱 $A A_{1}$ 和棱 $C C_{1}$ 上, 且 $A D=1 \quad C E=2, M$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点.
(I) 求证: $C_{1} M \perp B_{1} D$;
( II ) 求二面角 $B-B_{1} E-D$ 的正弦值;
(III) 求直线 $A B$ 与平面 $D B_{1} E$ 所成角的正弦值.
已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的一个顶点为 $A(0,-3)$, 右焦点为 $F$, 且 $|O A|=|O F|$, 其中 $O$ 为原 点.
(I) 求粗圆的方程;
(II) 已知点 $C$ 满足 $3 \overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O F}$, 点 $B$ 在椭圆上 ( $B$ 异于椭圆的顶点), 直线 $A B$ 与以 $C$ 为圆心的圆相切 于点 $P$, 且 $P$ 为线段 $A B$ 的中点. 求直线 $A B$ 的方程.
已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列, $\left\{b_{n}\right\}$ 为等比数列, $a_{1}=b_{1}=1, a_{5}=5\left(a_{4}-a_{3}\right), b_{5}=4\left(b_{4}-b_{3}\right)$.
(I) 求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式;
(II) 记 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 求证: $S_{n} S_{n+2} < S_{n+1}^{2}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$;
(III) 对任意的正整数 $n$, 设 $c_{n}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\left(3 a_{n}-2\right) b_{n}}{a_{n} a_{n+2}}, & n \text { 为奇数, } \\ \frac{a_{n-1}}{b_{n+1}} & n \text { 为偶数. }\end{array}\right.$ 求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $2 n$ 项和.
已知函数 $f(x)=x^{3}+k \ln x(k \in R), f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数.
(I) 当 $k=6$ 时,
(i) 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程;
(ii) 求函数 $g(x)=f(x)-f^{\prime}(x)+\frac{9}{x}$ 的单调区间和极值;
(II) 当 $k \ldots-3$ 时, 求证: 对任意的 $x_{1}, x_{2} \in[1,+\infty)$, 且 $x_{1}>x_{2}$, 有
$$
\frac{f^{\prime}\left(x_{1}\right)+f^{\prime}\left(x_{2}\right)}{2}>\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}} .
$$