单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
数据 $68,70,80,88,89,90,96,98$ 的第 15 百分位数为
$\text{A.}$ 69
$\text{B.}$ 70
$\text{C.}$ 75
$\text{D.}$ 96
已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的渐近线方程为 $y= \pm 3 x$, 则双曲线的离心率是
$\text{A.}$ $\sqrt{10}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{10}}{10}$
$\text{C.}$ $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$
$\text{D.}$ $3 \sqrt{10}$
等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和分别记为 $S_n$ 与 $T_n$, 若 $\frac{S_{2 n}}{T_n}=\frac{8 n}{3 n+5}$, 则 $\frac{a_2+a_9}{b_3}=$
$\text{A.}$ $\frac{12}{7}$
$\text{B.}$ $\frac{32}{17}$
$\text{C.}$ $\frac{16}{7}$
$\text{D.}$ 2
已知 $\alpha, \beta$ 是两个平面, $m, n$ 是两条直线, 则下列命题错误的是
$\text{A.}$ 如果 $\alpha / / \beta, n \subset \alpha$, 那么 $n / / \beta$
$\text{B.}$ 如果 $m \perp \alpha, n / / \alpha$, 那么 $m \perp n$
$\text{C.}$ 如果 $m / / n, m \perp \alpha$, 那么 $n \perp \alpha$
$\text{D.}$ 如果 $m \perp n, m \perp \alpha, n / / \beta$, 那么 $\alpha \perp \beta$
为了更好的了解党的历史, 宣传党的知识, 传颂英雄事迹, 某校团支部 6 人组建了 “党史宣讲” 、“歌曲演唱” 、“诗歌创作” 三个小组, 每组 2 人, 其中甲不会唱歌, 乙不能胜任诗歌创作, 则组建方法有种
$\text{A.}$ 60
$\text{B.}$ 72
$\text{C.}$ 30
$\text{D.}$ 42
已知直线 $l_1:(m-1) x+m y+3=0$ 与直线 $l_2:(m-1) x+2 y-1=0$ 平行, 则 “ $m=2$ " 是 “ $l_1$ 平行于 $l_2$ ”的
$\text{A.}$ 必要不充分条件
$\text{B.}$ 充分不必要条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
已知 $\alpha, \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), 2 \tan \alpha=\frac{\sin 2 \beta}{\sin \beta+\sin ^2 \beta}$, 则 $\tan \left(2 \alpha+\beta+\frac{\pi}{3}\right)=$
$\text{A.}$ $-\sqrt{3}$
$\text{B.}$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{D.}$ $\sqrt{3}$
双曲线 $C: x^2-y^2=4$ 的左, 右焦点分别为 $F_1, F_2$, 过 $F_2$ 作垂直于 $x$ 轴的直线交双曲线于 $A, B$ 两点,$\triangle A F_1 F_2, \triangle B F_1 F_2, \triangle F_1 A B$ 的内切圆圆心分别为 $O_1, O_2, O_3$, 则 $\triangle O_1 O_2 O_3$ 的面积是
$\text{A.}$ $6 \sqrt{2}-8$
$\text{B.}$ $6 \sqrt{2}-4$
$\text{C.}$ $8-4 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $6-4 \sqrt{2}$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
关于函数 $f(x)=\sin |x|+|\sin x|$ 有下述四个结论, 其中错误的是
$\text{A.}$ $f(x)$ 是偶函数
$\text{B.}$ $f(x)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ 单调递增
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 有 4 个零点
$\text{D.}$ $f(x)$ 的最大值为 2
已知复数 $z_1, z_2$, 满足 $\left|z_1\right| \cdot\left|z_2\right| \neq 0$, 下列说法正确的是
$\text{A.}$ 若 $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|$, 则 $z_1^2=z_2^2$
$\text{B.}$ $\left|z_1+z_2\right| \leq\left|z_1\right|+\left|z_2\right|$
$\text{C.}$ 若 $z_1 z_2 \in R$, 则 $\frac{z_1}{z_2} \in \mathbf{R}$
$\text{D.}$ $\left|z_1z_2\right|=\left|z_1\right|\left|z_2\right|$
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $R$, 且 $f(x+y) f(x-y)=f^2(x)-f^2(y), f(1)=\sqrt{3}, f\left(2 x+\frac{3}{2}\right)$ 为偶函数, 则
$\text{A.}$ $f(0)=0$
$\text{B.}$ $f(x)$ 为偶函数
$\text{C.}$ $f(3+x)=-f(3-x)$
$\text{D.}$ $\sum_{k=1}^{2023} f(k)=\sqrt{3}$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
定义集合运算: $A \odot B=\{z \mid z=x y(x+y), x \in A, y \in B\}$, 集合 $A=\{0,1\}, B=\{2,3\}$, 则集合 $A \odot B$ 所有元素之和为
早在南北朝时期, 祖冲之和他的儿子祖桓在研究几何体的体积时, 得到了如下的祖佰原理: 幂势既同,则积不容异。这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截,两个截面的面积总相等, 那么这两个几何体的体积一定相等, 将双曲线 $C_1: x^2-\frac{y^2}{3}=1$ 与 $y=0, y=\sqrt{3}$ 所围成的平面图形(含边界)绕其虚轴旋转一周得到如图所示的几何体 $\Gamma$, 其中线段 $O A$ 为双曲线的实半轴, 点 $B$ 和点 $C$ 为直线 $y=\sqrt{3}$ 分别与双曲线一条渐近线及右支的交点, 则线段 $B C$ 旋转一周所得的图形的面积是 ________ 几何体 $\Gamma$ 的体积为 ________
已知 $X$ 为包含 $v$ 个元素的集合 $\left(v \in N^*, v \geq 3\right.$ ). 设 $A$ 为由 $X$ 的一些三元子集(含有三个元素的子集)组成的集合, 使得 $X$ 中的任意两个不同的元素, 都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中, 则称 $(X, A)$ 组成一个 $v$ 阶的 Steiner三元系.若 $(X, A)$ 为一个 7 阶的Steiner三元系, 则集合 $A$ 中元素的个数为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)=\ln x+a x-a^2 x^2(a \geq 0)$.
(1) 若 $x=1$ 是函数 $y=f(x)$ 的极值点, 求 $a$ 的值;
(2) 求函数 $y=f(x)$ 的单调区间.
$A, B, C, D$ 四人进行羽毛球单打循环练习赛, 其中每局有两人比赛, 每局比赛结束时, 负的一方下场, 第 1 局由 $A, B$ 对赛, 接下来按照 $C, D$ 的顺序上场第 2 局、第 3 局(来替换负的那个人), 每次负的人其上场顺序排到另外 2 个等待上场的人之后(即排到最后一个), 需要再等 2 局(即下场后的第 3 局)才能参加下一场练习赛. 设各局中双方获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$, 各局比赛的结果相互独立.
(1)求前 4 局 $A$ 都不下场的概率;
(2)用 $X$ 表示前 4 局中 $B$ 获胜的次数, 求 $X$ 的分布列和数学期望.
四棱锥 $P-A B C D$ 中, 四边形 $A B C D$ 为菱形, $A D=2, \angle B A D=60^{\circ}$, 平面 $P B D \perp$ 平面 $A B C D$.
(1)证明: $P B \perp A C$;
(2)若 $P B=P D$, 且 $P A$ 与平面 $A B C D$ 成角为 $60^{\circ}$, 点 $E$ 在棱 $P C$ 上, 且 $\overrightarrow{P E}=\frac{1}{3} \overrightarrow{P C}$, 求平面 $E B D$ 与平面 $B C D$ 的夹角的余弦值.
如图, 已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右项点分别为 $A_1, A_2$, 左右焦点分别为 $F_1, F_2$, 离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2},\left|F_1 F_2\right|=2 \sqrt{3}, O$ 为坐标原点.
(I) 求椭圆 $C$ 的方程;
(II) 设过点 $P(4, m)$ 的直线 $P A_1, P A_2$ 与椭圆分别交于点 $M, N$, 其中 $m>0$, 求 $\triangle O M N$ 的面积 $S$ 的最大值.
已知 $A_m=\left(\begin{array}{cccc}a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1, m} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2, m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m, 1} & a_{m, 2} & \cdots & a_{m, m}\end{array}\right)(m \geq 2)$ 是 $m^2$ 个正整数组成的 $m$ 行 $m$ 列的数表, 当 $1 \leq i < s \leq m, 1 \leq$ $j < t \leq m$ 时, 记 $d\left(a_{i, j}, a_{s, t}\right)=\left|a_{i, j}-a_{s, j}\right|+\left|a_{s, j}-a_{s, t}\right|$. 设 $n \in N^*$, 若 $A_m$ 满足如下两个性质:
(1) $a_{i, j} \in\{1,2,3 ; \cdots, n\}(i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, m)$;
(2)对任意 $k \in\{1,2,3, \cdots, n\}$, 存在 $i \in\{1,2, \cdots, m\}, j \in\{1,2, \cdots, m\}$, 使得 $a_{i, j}=k$, 则称 $A_m$ 为 $\Gamma_n$ 数表.
(1) 判断 $A_3=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\right)$ 是否为 $\Gamma_3$ 数表, 并求 $d\left(a_{1,1}, a_{2,2}\right)+d\left(a_{2,2}, a_{3,3}\right)$ 的值;
(2) 若 $\Gamma_2$ 数表 $A_4$ 满足 $d\left(a_{i, j}, a_{i+1, j+1}\right)=1(i=1,2,3 ; j=1,2,3)$, 求 $A_4$ 中各数之和的最小值;
(3)证明: 对任意 $\Gamma_4$ 数表 $A_{10}$, 存在 $1 \leq i < s \leq 10,1 \leq j < t \leq 10$, 使得 $d\left(a_{i, j}, a_{s, t}\right)=0$.