单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $\vec{a}=(-1,3,-2), \vec{b}=(1,-1, m)$, 且 $\vec{a} \cdot \vec{b}=-2$, 则 $m=$
$\text{A.}$ $-1$
$\text{B.}$ $1$
$\text{C.}$ $-2$
$\text{D.}$ $2$
已知直线 $a x+b y-1=0$ 在 $y$ 轴上的截距为 -1 , 且它的倾斜角为 $\frac{\pi}{4}$, 则 $a-b=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ -2
$\text{D.}$ 2
已知常数 $a, b \in R$, 且 $a, b$ 不全为零, 若直线 $a x+b y=1$ 与圆 $C: x^2+y^2=1$ 相交, 则点 $P(a, b)$ 与圆 $C$ 的位置关系是
$\text{A.}$ 点在圆内
$\text{B.}$ 点在圆上
$\text{C.}$ 点在圆外
$\text{D.}$ 随 $a 、 b$ 取值的变化而变化
$\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$ 可以转化为平面上 $M(x, y)$ 点与点 $N(a, b)$ 之间的距离. 结合上述观点, 可得 $f(x)=\sqrt{x^2+8 x+20}+\sqrt{x^2+4 x+20}$ 的最小值为
$\text{A.}$ $\sqrt{29}$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{10}$
$\text{C.}$ $\sqrt{31}$
$\text{D.}$ $2+\sqrt{13}$
“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起, 故也被称为“阴阳鱼太极图”. 如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”, 图中曲线为圆或半圆, 已知点 $P(x, y)$ 是阴影部分 (包括边界) 的动点, 则 $\frac{y}{x-2}$ 的最小值为
$\text{A.}$ $-\frac{2}{3}$
$\text{B.}$ $-\frac{3}{2}$
$\text{C.}$ $-\frac{4}{3}$
$\text{D.}$ $-1$
如图, 平行六面体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的底面 $A B C D$ 是矩形, 其中 $A B=2, A D=$ $4, A A_1=3$, 且 $\angle A_1 A D=\angle A_1 A B=60^{\circ}$, 则线段 $A C_1$ 的长为
$\text{A.}$ $9$
$\text{B.}$ $\sqrt{29}$
$\text{C.}$ $\sqrt{47}$
$\text{D.}$ $4 \sqrt{3}$
已知正三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 的侧棱长为 3 , 底面边长为 2 , 则直线 $A B_1$ 与侧面 $A C C_1 A_1$ 所成角的正弦值等于
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{39}}{13}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{130}}{13}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
汉代初年成书的《淮南万毕术》记载: “取大镜高悬, 置水盆于下, 则见四邻矣”. 这是中国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例, 体现了传统文化中的数学智慧. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 一条光线从点 $(-2,0)$ 射出, 经 $y$ 轴反射后的光线所在的直线与圆 $x^2+y^2-2 x-2 y=0$ 相切, 则反射光线所在直线的斜率为
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ -1 或 1
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
关于直线 $l: x+\sqrt{3} y+2=0$, 下列说法正确的有
$\text{A.}$ 斜率为 $\sqrt{3}$
$\text{B.}$ 倾斜角为 $150^{\circ}$
$\text{C.}$ 在 $x$ 轴上的截距为 -2
$\text{D.}$ 直线 $l$ 不经过第一象限
已知三条直线 $2 x-3 y+1=0,4 x+3 y+5=0, m x-y-1=0$ 不能构成三角形, 则实数 $m$ 的取值可以是
$\text{A.}$ $-\frac{4}{3}$
$\text{B.}$ $-\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{D.}$ $2$
下列说法正确的是
$\text{A.}$ 若空间中的 $O, A, B, C$ 满足 $\overrightarrow{O C}=\frac{1}{3} \overrightarrow{O A}+\frac{2}{3} \overrightarrow{O B}$, 则 $A, B, C$ 三点共线
$\text{B.}$ 空间中三个向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$, 若 $\vec{a} / / \vec{b}$, 则 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 共面
$\text{C.}$ 对空间任意一点 $O$ 和不共线的三点 $A, B, C$, 若 $\overrightarrow{O P}=2 \overrightarrow{O A}+2022 \overrightarrow{O B}-2023 \overrightarrow{O C}$, 则 $P, A, B, C$ 四点共面
$\text{D.}$ 设 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一组基, 若 $\vec{m}=\vec{a}+\vec{b}, \vec{n}=\vec{a}-\vec{b}$, 则 $\{\vec{m}, \vec{n}, \vec{c}\}$ 不能为空间的一组基
已知圆 $C: x^2+y^2-4 x+2=0$, 则下列说法正确的有
$\text{A.}$ 直线 $x-y-1=0$ 与圆 $C$ 的相交弦长为 $\sqrt{6}$
$\text{B.}$ 圆 $C$ 关于直线 $x-y=0$ 对称的圆的方程为 $x^2+(y-2)^2=2$
$\text{C.}$ 若点 $P(x, y)$ 是圆 $C$ 上的动点, 则 $x^2+y^2$ 的最大值为 $2+\sqrt{2}$
$\text{D.}$ 若圆 $C$ 上有且仅有三个点到直线 $x+y+m=0$ 的距离等于 $\frac{\sqrt{2}}{2}$, 则 $m=-1$ 或$ -3$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知向量 $\vec{a}=(2,-1,3), \vec{b}=(-4,2, t)$ 的夹角为钝角, 则实数 $t$ 的取值范围为
已知点 $(1,-1)$ 关于直线 $l_1: y=2 x$ 的对称点为 $A$, 设直线 $l_2$ 经过点 $A$, 则当点 $B(2,-1)$ 到直线 $l_2$的距离最大时, 直线 $l_2$ 的方程是
在平面直角坐标系中, 动点 $P$ 到两条直线 $3 x-y=0$ 与 $x+3 y=0$ 的距离之和等于 4 , 则点 $P$ 到原点距离的取值范围为
已知圆 $E$ 的圆心为 $(a, 2)$, 直线 $l_1: x-y+1=0, l_2: x-y-1=0$ 与圆 $E$ 分别交于点 $A, B$ 与 $C, D$, 若四边形 $A B$ $C D$ 是正方形, 则圆 $E$ 的标准方程为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知直线 $l: 2 x-3 y+1=0$, 点 $A(-1,-2)$. 求:
(1) 点 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点 $A^{\prime}$ 的坐标;
(2) 直线 $m: 3 x-2 y-6=0$ 关于直线 $l$ 的对称直线 $m^{\prime}$ 的方程;
(3) 直线 $l$ 关于点 $A$ 对称的直线 $l^{\prime}$ 的方程.
求满足下列条件的直线的方程:
(1) 直线 $l$ 经过两条直线 $2 x+y-8=0$ 和 $x-2 y+1=0$ 的交点, 且平行于直线 $4 x-3 y-7=0$. 求直线 $l$ 的方程;
(2) 已知 $\triangle A B C$ 的顶点 $A(5,1)$, 边 $A B$ 上的中线 $C M$ 所在直线方程为 $2 x-y-5=0$, 边 $A C$ 上的高 $B H$ 所在直线方程为 $x-2 y-5=$ 0 , 求直线 $B C$ 的方程.
已知四棱雉 $P-A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 是正方形, $P D \perp$ 平面 $A B C D, P D=A$ $B=1, E$ 是 $P B$ 的中点.
(1) 求直线 $B D$ 与直线 $P C$ 所成角的余弦值;
(2) 求证: $P C \perp$ 平面 $A D E$;
(3) 求点 $B$ 到平面 $A D E$ 的距离.
已知 $x^2+y^2-4 x+2 m y+2 m^2-2 m+1=0(m \in R)$ 表示圆 $C$ 的方程.
(1) 求实数 $m$ 的取值范围;
(2) 当圆 $C$ 的面积最大时, 求过点 $A(4,-4)$ 圆的切线方程;
(3) $P$ 为圆上任意一点, 已知 $B(6,0)$, 在 (2) 的条件下, 求 $|P A|^2+|P B|^2$ 的最小值.
如图所示, 在四棱椎 $P-A B C D$ 中, $P A \perp$ 平面 $P C D$, 底面 $A B C D$ 满足 $A D / / B C, A P=A B$ $=B C=\frac{1}{2} A D=4, \angle A B C=90^{\circ}, E$ 为 $A D$ 的中点, $A C$ 与 $B E$ 的交点为 $O$.
(1) 设 $H$ 是线段 $B E$ 上的动点, 证明: 三棱椎 $H-P C D$ 的体积是定值；
(2) (文科生做) 求四棱椎 $P-A B C D$ 的体积.
(理科生做) 求直线 $B C$ 与平面 $P B D$ 所成角的余弦值.
