单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
如图，菱形$ABCD$和菱形$ECGF$的边长分别为2和3，$∠A=120°$，则图中阴影部分的面积是 （ ）
$\text{A.}$ $\sqrt{3}$
$\text{B.}$ $2$
$\text{C.}$ $3$
$\text{D.}$ $\sqrt{2}$
下列结论正确的是( ).
$\text{A.}$ 若$\left\{a_n\right\}$有界, $\lim _ {n \rightarrow \infty }b_{n} $存在，则$ \lim _ {n \rightarrow \infty }a_nb_n $存在.
$\text{B.}$ 若$\left\{a_n\right\}$有界. ,$\lim _ {n \rightarrow \infty }b_{n} =0$, 则 $ \lim _ {n \rightarrow \infty }a_nb_n =0 $.
$\text{C.}$ 若$\left\{a_n\right\}$ 无界,$\left\{b_n\right\}$无界,则$\left\{a_nb_n\right\}$无界
$\text{D.}$ 若$\left\{a_n\right\}$为无穷小数列,$\left\{b_n\right\}$无界,则$\lim _ {n \rightarrow \infty }b_{n} =0$, 则 $ \lim _ {n \rightarrow \infty }a_nb_n =0$
当$x\rightarrow 0$时, $(1+x^n)^{\sin x}-1$ 是比 $( \sqrt {1+x}-1) \arcsin x $高阶的无穷小，比 $x^2-\sin^2x $低阶的无穷小,则$n=$( ).
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $\alpha = \ln \cos 2x$, $\beta = \ln \dfrac {1-x^{2}}{1+x^{2}}$, 则当$x\rightarrow 0$时,$\alpha$是$\beta$的( ).
$\text{A.}$ 高阶无穷小
$\text{B.}$ 低阶无穷小
$\text{C.}$ 等价无穷小
$\text{D.}$ 同阶而非等价的无穷小
设 $f(x)= \dfrac {| \ln |x||}{x^{2}-1}$, 则$f(x)$有( ).
$\text{A.}$ 两个跳跃间断点，一个第二类间断点
$\text{B.}$ 两个可去间断点，一个第二类间断点
$\text{C.}$ 一个可去间断点，一个跳跃间断点，一个第二类间断点
$\text{D.}$ 三个第二类间断点
设$f(x)$在$x=a$处连续,$\phi(x)=|x-a|f(x)$，若$\phi(x)$在$x=a$处可导，则
$\text{A.}$ $f(a)=0$
$\text{B.}$ $f(a)\ne0$
$\text{C.}$ $f'(a)=0$
$\text{D.}$ $f'(a)\ne0$
设$f(x)$以2为周期且$f'(1)=\pi$,则 $\lim \limits _{x \rightarrow 0} \frac {f(3+2x)-f(-1- \sin x)}{x}=$
$\text{A.}$ $\pi$
$\text{B.}$ $2\pi$
$\text{C.}$ $3\pi$
$\text{D.}$ $4\pi$
设$g(x)$有界$f(x)= \begin{cases} \frac { \cos x-1}{x},&x < 0 \\ x^{ \frac {3}{2}}g(x),&x \ge 0 \end{cases}$， 则$f(x)$在$x=0$处
$\text{A.}$ 极限不存在
$\text{B.}$ 存在极限但不连续
$\text{C.}$ 连续但不可导
$\text{D.}$ 可导
填空题 （共 19 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac { \tan x- \sin x}{x^{2} \ln (1+2x)}= \underline { \quad \quad \quad }.$
$\lim \limits _{x \rightarrow \infty } \left ( \frac {x}{1+x} \right )^{2x}= \underline { \quad \quad \quad }$.
$\lim \limits _{x \rightarrow \infty } \dfrac {2x^{2}+x \cos x+1}{x^{2}+x \sin \frac {2}{x}}= \underline { \quad \quad \quad }$.
$\lim _{x \rightarrow + \infty } \dfrac { \ln (3x^{2}+2x+2)}{ \ln (2x^{4}+3x-1)}= \underline { \quad \quad \quad }$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \left ( \dfrac {1}{1- \cos x}- \dfrac {2}{x^{2}} \right )= \underline { \quad \quad \quad }$.
$\lim \limits _{x \rightarrow + \infty }( \sqrt {x^{2}+4x+1}- \sqrt {x^{2}-2x+2})= \underline { \quad \quad \quad }$.
当$x\rightarrow 0$时, $\sqrt {1+ax^{2}}-1 \sim 1- \cos ^{2}x$, 则$a=\underline{\quad\quad\quad}$.
设$ \lim \limits _{x \rightarrow \infty } \left ( \dfrac {x+c}{x-c} \right )^{ \dfrac {2x^{2}+3x+2}{x+1}}= \lim \limits _{x \rightarrow 0}( \cos x+x^{2})^{ \dfrac {1}{ \sin ^{2}x}}$, 则$c=\underline{\quad\quad\quad}$.
设$ f(x)= \begin{cases} \dfrac { \arctan 3x+e^{x}-1}{x},&x < 0 \\ 1,&x=0 \\ \dfrac {1-(1-x^{2})^{b}}{x \arcsin 2x},&x>0 \end{cases} $，在$x=0$处连续,则$a=\underline{\quad\quad\quad}$,$b=\underline{\quad\quad\quad}$.
设$f(x)= \dfrac {2-e^{ \dfrac {1}{x}}}{1+e^{ \dfrac {1}{x}}} \cdot \arctan \dfrac {1}{x}$，则$x=0$为$f(x)$的$\underline{\quad\quad\quad}$间断点.
设$f(x)=\sin x$,$f[φ(x)]=1-x^2$, 则 $\phi (x)=\xi$，定义域为$\underline{\quad\quad\quad}$.
设$ f(x)$连续可导,且$ \lim \limits_ {x \rightarrow 1}\dfrac { f(x)+1}{x-1}=2$，则 $\lim \limits_ {x \rightarrow 0} \dfrac {f(1+2x)-f(1-3x)}{x}=\underline { \quad \quad \quad }$.
设$ f(x)=(e^{x}-1)(e^{2x}-2) \cdots (e^{10x}-10)$, 则 $f'(0)=\underline { \quad \quad \quad }.$
设$ f(x)= \begin{cases} \ln (1+ax),&x>0 \\ e^{2x}+b,&x \le 0 \end{cases} $，且$f'(0))$存在,则$a=\underline { \quad \quad \quad } ,b=\underline { \quad \quad \quad }$.
设$f(x)$在$x=1$处可导且$f(1)=0$,$f'(1)=\pi$,则 $\lim \limits_ {x \rightarrow 0} \dfrac {f( \cos x)}{ \ln (1+x^{2})}= \underline { \quad \quad \quad }$.
设$y=y(x)$满足 $\Delta y= \frac { \Delta x}{1+x^{2}}+o( \Delta x)$,，且$y(0)=1$，则$y(x)= \underline { \quad \quad\quad}$.
设$y=y(x)$满足 $\Delta y= \frac { \Delta x}{1+x^{2}}+o( \Delta x)$，且$y(0)=1$，则$y(x)= \underline { \quad \quad\quad}$.
设 $f(x)= \lim \limits_ {t \rightarrow 0}x^{2}(1-t^{2})^{ \dfrac {x}{ \sin t^{2}}}$, 则 $f'(x)=\underline { \quad \quad \quad }$.
设 $e^{x+y}=xy+1$, 则 $y'(0)=8$.设 $y= \dfrac {1}{2x-1}$, 则 $y^{10}(0)=\underline { \quad \quad \quad }$.
解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知关于$x$的一元二次方程 $x^2+(2m-1)x+m^2-3=0$有实数根。
(1)求实数$m$的取值范围
(2)当$m=2$时,方程的根为$x_{1}$,$x_{2}$，求代数式$(x^2+2x_{1})(x^2+4x_{2}+2)$的值
计算下列极限.
(1) $\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac {(1+2x)^{ \sin x}-1}{x^{2}}$.
(2)$ \lim _ {x \rightarrow 0} \dfrac { \ln (e+ \sin 2x)-1}{x}$.
(3) $\lim _ {x \rightarrow 0} \dfrac { \ln \frac { \sin x}{x}}{ \tan ^{2}x}$.
(4)$ \lim _ {x \rightarrow 0} \dfrac {e^{ \tan x}-e^{x}}{x^{3}}$.
(5) $\lim _ {x \rightarrow 0} \dfrac { \sqrt {1+x \cos x}- \sqrt {1+x}}{x^{2} \arcsin 2x}$.
2.计算下列极限.
(1) $\lim_{x \rightarrow 0}( \cos x+x^{2})^{ \dfrac {1}{x \ln (1+x)}}$.
(2) $\lim _{x \rightarrow 0}(e^{x}+e^{ \sin 2x}-1)^{ \dfrac {1}{x}}$.
(3) $\lim _ {x \rightarrow \infty } \left ( \dfrac {x-1}{x+1} \right )^{2x}$.
(4) $\lim _ {x \rightarrow 0} \left ( \dfrac { \arctan x}{x} \right )^{ \dfrac {1}{x^{2}}}$.
3.计算下列极限.
(1) $\lim_{x \rightarrow + \infty }( \sqrt {x^{2}+4x+1}- \sqrt {x^{2}-2x+3})$.
(2) $\lim_{x \rightarrow + \infty }(x \arctan x- \dfrac { \pi }{2}x)$.
(3) $\lim_{x \rightarrow 0} \left ( \frac {1}{x}- \dfrac {1}{e^{x}-1} \right )$.
4.计算下列极限.
(1) $\lim_{n \rightarrow \infty }(1+2^{n}+3^{n})^{ \dfrac {1}{n}}$.
(2) $\lim_{n \rightarrow \infty } \left ( \dfrac {1}{4n^{2}+1}+ \dfrac {2}{4n^{2}+2}+ \cdots + \dfrac {n}{4n^{2}+n} \right )$.
设$ a_{1}>0$,$a_{n+1}= \ln (1+a{n})(n=1,2, \cdots )$.
(1)证明: $\lim_ {n \rightarrow \infty }a_{n}$ 存在，并求此极限；
(2)求$ \lim_{n \rightarrow \infty } \dfrac {a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}a_{n+1}}$.
设$ a_{1}>0$,$a_{n+1}= \ln (1+a{n})(n=1,2, \cdots )$.
(1)证明: $\lim_ {n \rightarrow \infty }a_{n}$ 存在，并求此极限；
(2)求$ \lim_{n \rightarrow \infty } \dfrac {a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}a_{n+1}}$.
设$0 < a_{1} < \pi$ ,$a_{n+1}= \sin a_{n}(n=1,2, \cdots )$
.(1)证明: $\lim _ {n \rightarrow \infty }a_{n} $存在，并求此极限；
(2)求 $\lim _ {n \rightarrow \infty } \left ( \dfrac {1}{a_{n+1}^{2}}- \dfrac {1}{a_{n}^{2}} \right )$.
设 $a_{1}=1$,$a_{n+1}= \sqrt {1+a_{n}}$, 证明： $\lim _{n \rightarrow \infty }a_{n}$ 存在，并求此极限.
7.设 $a_{1}=1$,$a_{n+1}= \sqrt {1+a_{n}}$, 证明： $\lim _{n \rightarrow \infty }a_{n}$ 存在，并求此极限.
设$f(x)$在$[0,2]$上连续,且$f(0)+2f(1)+3f(2)=6$,证明:存在$c\in [0,2]$,使得$f(c)=1$.
求函数$ f(x)= \dfrac {2x^{2}+x-1}{x^{2}-1}e^{ \dfrac {1}{x}}$ 的间断点，并进行分类.
求$ f(x)=e^{ \dfrac {x- \frac { \pi }{4}}{ \tan (x- \frac { \pi }{4})}}$ 在$(0，2\pi)$内的间断点，并进行分类.