解答题 （共 18 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知质点的运动学方程$ r=2 t i+\left(6-2 t^2\right) j$ 式中 $\boldsymbol{r}$ 的单位是 $\mathrm{m}, t$ 的单位是 s. (1) 求质点的轨迹, 并作图表示; (2) 求 $t_1=1 \mathrm{~s}$ 和 $t_2=2 \mathrm{~s}$ 之间的 $\Delta \boldsymbol{r} 、 \Delta|\boldsymbol{r}|$ 和平均速度 $\bar{v} ;$; (3) 求 $t_1=1 \mathrm{~s}$ 和 $t_2=2 \mathrm{~s}$ 两时刻的速度和加速度; (4) 在什 么时刻质点离原点最近, 其距离多大?
如图所示为一曲柄连杆机构, 曲柄 $O A$ 长为 $r$, 连杆 $A B$ 长为 $l . A B$ 的一端用销子 在 $A$ 处与曲柄 $O A$ 相连, 另一端以销子在 $B$ 处与活塞相连. 当曲柄以匀角速 $\omega$ 绕轴 $O$ 旋转 时, 通过连杆将带动 $B$ 处活塞在汽缸内往复运动, 试求活塞的运动学方程、速度 $v$ 和加速 度 $a$ 与 $t$ 的关系式.
一飞轮边缘上一点所经过的路程与时间的关系为 $s=v_0 t-\frac{1}{2} b t^2, v_0 、 b$ 都是正的常量.
(1) 求该点在时刻 $t$ 的加速度. (2) $t$ 为何值时, 该点的切向加速度与法向加速度的大小 相等? 已知飞轮的半径为 $R$.
某人以 $4 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 的速度向东行进时, 感觉风从正北吹来. 如果将速度增加一倍, 则感觉 风从东北方向吹来. 求相对于地面的风速和风向.
有一密度为 $\rho$ 的细棒, 长度为 $l$, 其上端用细线悬着, 下端紧贴着密度为 $\rho^{\prime}$ 的液体表 面. 现将悬线剪断,求细棒在恰好全部没人液体中时的沉降速度. 设液体没有黏性.
一段均匀铁丝弯成半圆形, 其半径为 $R$, 质量为 $m$ 求此半圆形铁丝的质心.
质量为 $m_1$ 、长为 $L$ 的木船浮在静止的河面上. 今有一质量为 $m_2$ 的小孩以时快时慢不 规则速率从船尾走到船头. 假设船与水之间的摩擦不计, 求船相对于岸移动了多少距离.
质量为 $m$ 的匀质链条, 全长为 $L$, 手持其上端, 使下端离地面的高度为 $h$. 然后放手让 它自由下落到地上, 如图 2-8 所示. 求链条落到地上的长度为 $l$ 时, 地面所受链条作用力的 大小.
如图 所示, 设炮车以仰角 $\theta$ 发射一炮弹, 炮车和炮弹的质量分别为 $m^{\prime}$ 和 $m$,炮弹 的出口速度的大小为 $v$, 求炮车的反冲速度 $v^{\prime}$ 及后退距离. 炮车与地面之间的摩擦力略 去不计.
一个静止的物体炸裂成三块. 其中两块具有相等的质量, 且以相同的速率 $30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 沿 相互垂直的方向飞开, 第三块的质量恰好等于这两块质量的总和, 试求第三块的速度 (大 小和方向).
质量为 $m_1$ 和 $m_2$ 的两个小孩, 在光滑水平冰面上用绳彼此拉对方. 开始时静止, 相距 为 $l$. 问他们将在何处相遇?
按经典原子理论,认为氢原子中的电子在圆形轨道上绕核运动. 电子与氢原子核之 间的静电力为 $F=k \frac{e^2}{r^2}$, 其中 $e$ 为电子电荷量的绝对值, $r$ 为轨道半径, $k$ 为常量. 因为电子 的角动量具有量子化的特征, 所以电子绕核运动的角动量只能等于 $\frac{h}{2 \pi}$ 的整数 $(n)$ 倍 $[h$ 是 一常量, 叫做普朗克 (Planck) 常量, $\left.h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{s}\right]$, 问电子运动容许的轨道半径等 于多少?
装有货物的木箱, 所受重力 $G=980 \mathrm{~N}$, 要把它运上汽车. 现将长 $l=3 \mathrm{~m}$ 的木板揢在汽 车后部, 构成一斜面, 然后把木箱沿斜面拉上汽车. 斜面与地面成 $30^{\circ}$ 角, 木箱与斜面间的 滑动摩擦因数 $\mu=0.20$, 绳的拉力 $\boldsymbol{F}$ 与斜面成 $10^{\circ}$ 角, 大小为 $700 \mathrm{~N}$, 如图 2-22(a) 所示. 求:
(1) 木箱所受各力所做的功; (2) 合外力对木箱所做的功; (3) 如改用起重机把木箱直接 吊上汽车,能不能少做些功?
传送机通过滑道将长为 $L$ 、质量为 $m$ 的柔软匀质物体以初速 $v_0$ 向右送上水平台面, 物 体前端在台面上滑动 $s$ 距离后停下来 (见图 2-23). 已知滑道上的摩擦可不计, 物与台面 间的摩擦因数为 $\mu$, 而且 $s>L$, 试计算物体的初速度 $v_0$.
用一弹簧将质量分别为 $m_1$ 和 $m_2$ 的上下两水平木板连接如图 2-36 所示, 下板放在地 面上. (1) 如以上板在弹簧上的平衡静止位置为重力势能和弹性势能的零点, 试写出上 板、弹簧以及地球这个系统的总势能 . (2) 对上板加多大的向下压力 $F$, 才能因突然撤去 它,使上板向上跳而把下板拉起来?
一质量为 $m$ 的光滑球 $\mathrm{A}$, 坚直下落, 以速度 $u$ 与质量为 $m^{\prime}$ 的球 B 碰撞. 球 B 由一根细 绳悬挂着, 绳长被看作一定. 设碰撞时两球的连心线与坚直方向 ( $y$ 方向) 成 $\theta$ 角, 如图 2-41所示. 已知恢复系数为 $e$, 求碰撞后球 $\mathrm{A}$ 的速度.
一轻绳跨过一定滑轮, 滑轮视为圆盘, 绳的两端分别悬有质量为 $m_1$ 和 $m_2$ 的物体 1 和 $2, m_1 < m_2$, 如图 3-9 所示. 设滑轮的质量为 $m$, 半径为 $r$. 绳与滑轮之间无相对滑动, 且滑 轮轴处的摩擦可忽略不计. 试求物体的加速度和绳的张力.
测流量的文特利流量计如图 3-27 所示. 若已知截面 $S_1$ 和 $S_2$ 的大小以及流体密度 $\rho$, 由两根竖直向上的玻璃管内流体的高度差 $h$, 即可求出流量 $Q$.
