设 $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_n=a,|q| < 1$ ．用 $\varepsilon-N$ 方法证明：
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(a_n+a_{n-1} q+\cdots+a_1 q^{n-1}\right)=\frac{a}{1-q} .
$$
求证：若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=+\infty$ ，则数列 $\left\{a_n\right\}$ 存在最小项，即$\exists N_0 \in \mathbb{N}$ ，使得 $a_n \geqslant a_{N_0}, \forall n \in \mathbb{N}$ 。
证明数列 $\left\{\frac{n^5}{2^n}\right\}$ 收敛于 0.
证明数列 $\{\sqrt[n]{n}\}$ 的极限是 1 ．
证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[2 n+1]{n^2+n}=1$
设 $a, b, c$ 为三个给定的实数，令 $a_0=a, b_0=b, c_0=c$ ，并归纳定义
$$
\left\{\begin{array}{l}
a_n=\frac{b_{n-1}+c_{n-1}}{2}, \\
b_n=\frac{c_{n-1}+a_{n-1}}{2}, \quad n=1,2, \cdots \\
c_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2},
\end{array}\right.
$$
证明： $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_n=\lim _{n \rightarrow+\infty} b_n=\lim _{n \rightarrow+\infty} c_n=\frac{a+b+c}{3}$ ．
设 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=\alpha_1, \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n+1}=\alpha_2, \lim _{n \rightarrow \infty} x_{3 n}=\alpha_3$ ．求证：存在极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ ．
设 $a_1=1, a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}(n \geqslant 1)$ ，求证：
（1） $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=+\infty$ ；（2）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n}=+\infty$ ．
求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的极限，其中 $a_n=\frac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}, n \in \mathbf{N}_{+}$．
设 $x_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}, n=1,2, \cdots$ ．求证：$\left\{x_n\right\}$ 收敛并且其极限值不小于 $\frac{1}{2}$ ．
设 $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_n=a,|q| < 1$ ．用 $\varepsilon-N$ 方法证明：
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(a_n+a_{n-1} q+\cdots+a_1 q^{n-1}\right)=\frac{a}{1-q} .
$$
设 $a, b, c$ 为三个给定的实数，令 $a_0=a, b_0=b, c_0=c$ ，并归纳定义
$$
\left\{\begin{array}{l}
a_n=\frac{b_{n-1}+c_{n-1}}{2}, \\
b_n=\frac{c_{n-1}+a_{n-1}}{2}, \quad n=1,2, \cdots \\
c_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2},
\end{array}\right.
$$
证明： $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_n=\lim _{n \rightarrow+\infty} b_n=\lim _{n \rightarrow+\infty} c_n=\frac{a+b+c}{3}$ ．
设数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\},\left\{c_n\right\}$ 满足 $a_1>0,4 \leqslant b_n \leqslant 5,4 \leqslant c_n \leqslant 5$ ．
$$
a_n=\frac{\sqrt{b_n^2+c_n^2}}{b_n+c_n} a_{n-1} .
$$
证明： $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_n=0$ 。
设 $a_1 \geqslant 0, a_{n+1}=\frac{3\left(1+a_n\right)}{3+a_n}, n=1,2, \cdots$ ．证明：$\left\{a_n\right\}$ 收敛，且 $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_n=\sqrt{3}$ ．
设 $a_1=1, a_{n+1}=\frac{1}{1+a_n}, n=1,2, \cdots$ ．证明 $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_n=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ ．
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_n \sum_{i=1}^n a_i^2=1$ ．证明： $\lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[3]{3 n} a_n=1$ ．
设 $\left\{a_n\right\}$ 为单调增的数列，令 $\sigma_n=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$ ．如果 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \sigma_n=a$ ．证明： $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_n=$ a．若＂单调增＂的条件删去，结论是否成立。
设 $a_n>0$ ，证明：$\varlimsup_{n \rightarrow+\infty} n\left(\frac{1+a_{n+1}}{a_n}-1\right) \geqslant 1$ ．