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科数网-方程组的解

发布日期 2026/7/28 18:51:48      查看 3      加入组卷      查看作者     
单选题
设非齐次线性方程组 $A X=B$ 中未知量个数为 $n$ ，方程个数为 $m$ ，系数矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，则 。
$\text{A.}$ $r=m$ 时，方程组 $A X=B$ 有解 $\text{B.}$ $r=n$ 时，方程组 $A X=B$ 有唯一解 $\text{C.}$ $m=n$ 时，方程组 $A X=B$ 有唯一解 $\text{D.}$ $r < n$ 时，方程组 $A X=B$ 有无穷多解
设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，$\alpha$ 是 $n$ 维列向量，若 $R\left(\begin{array}{cc}A & \alpha \\ \alpha^T & 0\end{array}\right)=R(A)$ ，则线性方程组
．
$\text{A.}$ $A X=\alpha$ 必有无穷多解 $\text{B.}$ $A X=\alpha$ 必有唯一解 $\text{C.}$ $\left(\begin{array}{cc}A & \alpha \\ \alpha^T & 0\end{array}\right)\binom{X}{y}=0$ 仅有零解 $\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}A & \alpha \\ \alpha^T & 0\end{array}\right)\binom{X}{y}=0$ 必有非零解
填空题
设向量 $\alpha=(1,0,2)^T, \beta=(2,3,0)$ ，则 $(\alpha \beta)^5=$
已知 3 阶非零矩阵 $B$ 的每个列向量都是线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+2 x_2-2 x_3=0 \\
2 x_1-x_2+\lambda x_3=0 \\
3 x_1+x_2-x_3=0
\end{array}\right.
$$

的解，求 $\lambda$ 的值．
解答题
已知 4 阶方阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right), \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 均为 4 维列向量，其中 $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性无关，$\alpha_1=2 \alpha_2-\alpha_3$ ，如果 $\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4$ ，求线性方程组 $A X=\beta$ 的通解．
已知齐次线性方程组

$$
\text { (I ) }\left\{\begin{array}{l}
x_1+2 x_2+3 x_3=0 \\
2 x_1+3 x_2+5 x_3=0 \\
x_1+x_2+a x_3=0
\end{array}\right.
$$

和

$$
\text { ( II ) }\left\{\begin{array}{c}
x_1+b x_2+c x_3=0 \\
2 x_1+b^2 x_2+(c+1) \quad x_3=0
\end{array}\right.
$$

同解，求 $a 、 b 、 c$ 的值．
设线性方程组
（I ）$\left\{\begin{array}{l}x_1-x_2=0 \\ x_2-x_4=0\end{array}\right.$ ；
（II）$\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2-x_3=0 \\ x_2-x_3+x_4=0\end{array}\right.$
求方程组（I）和（II）的公共解。
解方程组
$$
\left\{\begin{array}{c}
2 x_1-x_2+3 x_3=1 \\
4 x_1-2 x_2+5 x_3=4 \\
2 x_1-x_2+4 x_3=-1 \\
6 x_1-3 x_2+5 x_3=11
\end{array}\right.
$$
设线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+t x_3=4 \\
-x_1+t x_2+x_3=t^2 \\
x_1-x_2+2 x_3=-4
\end{array}\right.
$$

$t$ 为何值时方程组无解？$t$ 为何值时方程组有解？有解时，求其解．
参数 $a, b$ 为何值时，线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=1 \\
3 x_1+2 x_2+x_3+x_4-3 x_5=a \\
x_2+2 x_3+2 x_4+6 x_5=3 \\
5 x_1+4 x_2+3 x_3+3 x_4-x_5=b
\end{array}\right.
$$

有解、无解？在有解时，求其解．