已知函数 $f(x)=x(1-\ln x)$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）设 $a, b$ 为两个不相等的正数，且 $b \ln a-a \ln b=a-b$ ，证明： $2 < \frac{1}{a}+\frac{1}{b} < \mathrm{e}$ ．
已知 $x=\frac{1}{2}$ 为函数 $f(x)=\ln x-a x+a$ 的极值点．
（1）求 $a$ ；
（2）证明：当 $0 < x < \frac{3}{2}$ 时，$x f(x)+\left(x-\frac{1}{2}\right)^2>0$ ．
已知函数 $f(x)=x \ln (x+1)$ ．
（1）求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；
（2）证明：$f(x)+\frac{1}{2} x^3 \geq x^2$ ．
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{a-x}$
（1）求 $y=f(x)$ 在 $x=a$ 处的切线；
（2）若 $0 < a < 2$ ，证明当 $x>0$ 时，$f(x) < \frac{a}{x}+2$ ．
已知函数 $f(x)=a x-\frac{\sin x}{\cos ^3 x}, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$
（1）当 $a=8$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $f(x) < \sin 2 x$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-\frac{a}{x}(a \in \mathrm{R})$ ．
（1）讨论函数 $f(x)$ 零点个数；
（2）若 $|f(x)|>a \ln x-a$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=a x-\ln (x+1)-\cos x, a \in \mathbf{R}$ ．
（1）当 $a=0$ 时，求 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的切线方程；
（2）若 $x \in[0,1]$ 时，$f(x) \geq-1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．