单选题 (共 8 题 ),每题只有一个选项正确
已知集 $A=\{-2,-1,1,2\}, B=\left\{x \mid 3^x < 1\right\}$, 则 $A \bigcap B= $
$\text{A.}$ $\{-2,-1\}$
$\text{B.}$ $\{1,2\}$
$\text{C.}$ $\{-2,-1,1\}$
$\text{D.}$ $\{-2,-1,2\}$
已知复数 $z_1=1-2 i, z_2=1+i$, 则复数 $z_1 z_2$ 的模 $\left|z_1 z_2\right|$ 等于
$\text{A.}$ $\sqrt{5}$
$\text{B.}$ $\sqrt{10}$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{5}$
$\text{D.}$ $5 \sqrt{2}$
函数 $y=(x-2)^2 \ln |x|$ 的图像是
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=3, \vec{a}-\vec{b}=(3,1)$, 则 $|3 \vec{a}-\vec{b}|= $
$\text{A.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{B.}$ $\sqrt{15}$
$\text{C.}$ $3 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $2 \sqrt{5}$
记 $T_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项积, 已知 $\frac{1}{T_n}+\frac{1}{a_n}=1$, 则 $T_{10}= $
$\text{A.}$ 8
$\text{B.}$ 9
$\text{C.}$ 10
$\text{D.}$ 11
已知函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{4}\right)(\omega>0)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ 上单调递增, 且 $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=f(\pi)$, 则 $\omega=$
$\text{A.}$ $\frac{5}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{4}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
甲、乙、丙 3 人去食堂用賑, 每个人从 $A, B, C, D, E$ 这 5 种菜中任意选 用 2 种,则 $A$ 菜有 2 人选用、 $B$ 莠有 1 人选用的情形共有
$\text{A.}$ 54
$\text{B.}$ 81
$\text{C.}$ 135
$\text{D.}$ 162
若函数 $y=f(x)$ 满足 $f(2-x)+f(x)=2, f(4-x)+f(x)=4$, 设 $f(x)$ 的导函数 为 $f^{\prime}(x)$, 当 $x \in[0,1]$ 时, $f(x)=x^2$, 则 $\sum_{k=1}^{10}\left[f(k)+f^{\prime}\left(k+\frac{1}{2}\right)\right]=$
$\text{A.}$ 65
$\text{B.}$ 70
$\text{C.}$ 75
$\text{D.}$ 80
多选题 (共 4 题 ),每题有多个选项正确
已知定义域为 $I$ 的偶函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增, 且 $\exists x_0 \in I$, 使 $f\left(x_0\right) < 0$. 则 下列函数中符合上述条件的是
$\text{A.}$ $f(x)=x^4-3$
$\text{B.}$ $f(x)=2^x-2^{-x}$
$\text{C.}$ $f(x)=\log _2|x|$
$\text{D.}$ $f(x)=\cos x-1$
已知随变量从二项分布 $B\left(1001, \frac{1}{2}\right)$, 则
$\text{A.}$ $P(X=k)=C_{1001}^k\left(\frac{1}{2}\right)^{1001}$
$\text{B.}$ $P(X \leqslant 301)=P(X \geqslant 701)$
$\text{C.}$ $P(X>E(X))>\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $P(X=k)$ 最大时 $k=500$ 或 501
已知椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 点 $P$ 在椭圆上且在 $x$ 轴上方, 若 $P F_1$ 的中点 $M$ 在以原点 $O$ 为圆心, $O F_1$ 为半径的圆上, 则
$\text{A.}$ 点 $P$ 在第一象限
$\text{B.}$ $\triangle P F_1 F_2$ 的面积为 $8 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $P F_1$ 的斜率为 $2 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ 直线 $P F_1$ 和圆 $x^2+y^2=8$ 相切
数列 $\left\{x_n\right\}$ 定义如下: $x_1=1, x_2=2$, 若对于任意 $n \geqslant 1$, 数列的前 $2^n$ 项已定义, 则对于 $2^n+1 \leqslant k \leqslant 2^{n+1}$, 定义 $x_k=2 x_{k-2^*}, S_n$ 为其前 $n$ 项和, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 数列 $\left\{x_n\right\}$ 的第 $2^n$ 项为 $x_{r^n}=2^n$
$\text{B.}$ 数列 $\left\{x_n\right\}$ 的第 2023 项为 $x_{2023}=128$
$\text{C.}$ 数列 $\left\{x_n\right\}$ 的前 $2^n$ 项和为 $S_{2^n}=3^n$
$\text{D.}$ $S_{2^{10}+2^2+2^2}=S_{2^{10}}+2 S_{2^5}+2^2 S_{2^2}$
填空题 (共 4 题 ),请把答案直接填写在答题纸上
$(1+x)\left(\frac{2}{x}-x\right)^5$ 展开式中 $x^2$ 项的系数为
已知随机事件 $A, B, P(\mathrm{~A})=\frac{1}{3}, P(\mathrm{~B})=\frac{1}{4}, P(A \mid B)=\frac{3}{4}$, 则 $P(\bar{B} \mid A)=$
在 $\triangle A B C$ 中, $E$ 为边 $B C$ 中点, 若 $|B C|=8, \triangle A C E$ 的外接圆半径为 3 , 则 $A B^2+A C^2$ 的最大值为
在三棱雉 $A B C D$ 中, 对棱 $A B=C D=2 \sqrt{2}, A D=B C=\sqrt{5}, A C=B D=\sqrt{5}$, 则 该三棱锥的外接球体积为 $-\frac{9}{2} \pi$, 内切球表面积为
解答题 (共 6 题 ),解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
某地区 2016 至 2022 年生活垃圾无害化处理量(单位: 万吨) 如表:
(1) 求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程:
(2) 根据 (1) 中的回归方程, 分析过去七年该地区生活垃圾无害化处理的变化情况, 并顺 测该地区 2024 年生活垃圾无害化处理量.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: $\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2}$, $\hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}$. 参考数据 $\sum_{i=1}^7 x_i y_i=162.4$.
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $D$ 为边 $B C$ 上一点, $D C=3, A D=5, A C=7$, $\angle D A C=\angle A B C$
(1) 求 $\angle A D C$ 的大小;
(2) 求 $\triangle A B C$ 的面积.
在数列 $\left\{q_n\right\}$ 中 $q_1=2, q_{n+1}=2-\frac{1}{q_n}$, 在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中 $a_1=1, \frac{a_{2 n}}{a_{2 n-1}}=\frac{a_{2 n+1}}{a_{2 n}}=q_n$.
(1) 求证数列 $\left\{\frac{1}{q_n-1}\right\}$ 成等差数列并求 $q_n$;
(2) 求证: $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_{2 n-1}}+\frac{1}{a_{2 n}} < 3-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$.
在三棱雉 $A^{\prime}-A B C$ 中, $D, E, P$ 分别在棱 $A C, A B, B C$ 上, 且 $D$ 为 $A C$ 中 点, $A D=A E=A^{\prime} D=A^{\prime} E=2, A P \perp D E$ 于 $F$.
(1) 证明: 平面 $A A^{\prime} P \perp$ 平面 $A^{\prime} D E$;
(2) 当 $B E=1, B C=5$, 二面角 $A^{\prime}-D E-P$ 的余弦值为 $\frac{3}{5}$ 时, 求直线 $A^{\prime} B$ 与平面 $A^{\prime} D E$ 所 成角的正弦值.
设双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的右焦点为 $F(3,0), F$ 到其中一条渐近线的距离为 2 .
(1) 求双曲线 $C$ 的方程;
(2) 过 $F$ 的直线交曲线 $C$ 于 $A, B$ 两点 (其中 $A$ 在第一象限), 交直线 $x=\frac{5}{3}$ 于点 $M$,
(i) 求 $\frac{|A F| \cdot|B M|}{|A M| \cdot|B F|}$ 的值;
(ii) 过 $M$ 平行于 $O A$ 的直线分别交直线 $O B 、 x$ 轴于 $P, Q$, 证明: $|M P|=|P Q|$.
已知 $a>2$, 函数 $f(x)=x-a-(a-1) \ln \frac{x}{a}, x>0$.
(1) 求函数 $f(x)$ 的单调区间和极值;
(2) 设 $f(x)$ 较小的零点为 $x_1$, 证明: $a-2 < x_1 < a-2+\frac{1}{a}$.