在 $\mathbb{R}^3$ 中定义变换
$$
\mathcal{A}\left(\left(x_1, x_2, x_3\right)^{\top}\right)=\left(x_1+3 x_2-3 x_3, 3 x_1+x_2-3 x_3,-x_3\right)^{\top} .
$$
（i）证明： $\mathcal{A}$ 是线性变换；
（ii）求 $\mathcal{A}$ 在基 $e_1=(1,0,0)^{\mathrm{T}}, e_2=(0,1,0)^{\mathrm{T}}, e_3=(0,0,1)^{\mathrm{T}}$ 下的矩阵表示；
（iii）是否存在 $\mathbb{R}^3$ 的一组基，使得 $\mathcal{A}$ 在这组基下的矩阵表示为对角矩阵？若存在，求出这组基，否则给出不存在的理由。
记 $\mathbb{P}_2[x]$ 为实数域 $\mathbb{R}$ 上所有次数不超过二次的多项式全体按多项式加法、数乘所构成的线性空间。对任意的多项式 $p(x), q(x) \in \mathbb{P}_2[x]$ ，定义
$$
\langle p, q\rangle=\int_{-1}^1 p(x) q(x) x^2 \mathrm{~d} x
$$
（i）证明：$\langle p, q\rangle$ 是线性空间 $\mathbb{P}_2[x]$ 上的一个内积；
（ii）求内积 $\langle p, q\rangle$ 在基 $\left\{1, x, x^2\right\}$ 下的度量矩阵 $G$ ；
（iii）利用 Schmidt 正交化 ${ }^{+}$将基 $\left\{1, x, x^2\right\}$ 改造为关于该内积的一组标准正交基。
已知二次型
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Q\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2 a x_1 x_2+2 x_1 x_3+2 b x_2 x_3
$$
经正交变换 $X=P Y$ 化为标准型 $Q\left(y_1, y_2, y_3\right)=y_2^2+2 y_3^2$ ，求参数 $a, b$ 的值及所用的正交矩阵 $P$ 。
设 $A$ 是 $n$ 阶实对称方阵，证明 $A$ 为半正定方阵的充分必要条件为：对任意的 $n$ 阶半正定矩阵 $B$ ，满足 $\operatorname{tr}\left(A^{\top} B\right) \geq 0$ 。