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上海交通大学《高等数学上》第一学期期中试卷

发布日期 2026/6/28 9:17:46      查看 44      加入组卷      查看作者     
单选题
当 $x \rightarrow 0$ 时，与 $\sqrt{\cos x}-1$ 等价的无穷小是
$\text{A.}$ $\frac{x^2}{4}$ ； $\text{B.}$ $-\frac{x^2}{4} ;$ $\text{C.}$ $\frac{x^2}{2}$ ； $\text{D.}$ $-\frac{x^2}{2}$ ．
设 $a$ 是常数，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} e^{-a^n}=$
$\text{A.}$ 0 ； $\text{B.}$ $\mathrm{e}^{-1}$ ； $\text{C.}$ 不存在； $\text{D.}$ 以上选项都有可能．
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=A>0$ ，则 ．
$\text{A.}$ $\left\{a_n\right\}$ 有界； $\text{B.}$ $\left\{a_n\right\}$ 不存在极限； $\text{C.}$ $\left\{a_n\right\}$ 自某项起同号； $\text{D.}$ $\left\{a_n\right\}$ 自某项起单调．
设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处不可导，则在 $x=x_0$ 点一定不可导的是（ ）。
$\text{A.}$ $\mathrm{e}^{f(x)}$ ； $\text{B.}$ $|f(x)|$ ； $\text{C.}$ $f^2(x)$ ； $\text{D.}$ $\cos f(x)$ ．
设 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上 $(a>0)$ 有定义且单调增加，下列命题中，正确命题的个数为 ．
（1）若对于 $x_0 \in(a, b), \lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 点连续；
（2）若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则存在 $x_0 \in[a, b]$ ，使得 $f(b)-f(a)= 2 f\left(x_0\right)$ ；
（3）若 $x f(x)$ 在 $[a, b]$ 上单调减少，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续．
$\text{A.}$ 0 ； $\text{B.}$ 1 ； $\text{C.}$ 2 ； $\text{D.}$ 3 ．
填空题
若设函数 $f(x)$ 满足 $2 f(3 x)+f(2-3 x)=6 x+1$ ，则 $f(x)=$
设 $y=x^3+3 x+1$ ，则 $\left.\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}\right|_{y=1}=$
曲线 $r=\cos 2 \theta$ 在 $\theta=\frac{\pi}{4}$ 处的切线方程为
已知 $y=y(x)$ 由方程 $x^2 y=\mathrm{e}^{x-y}$ 所确定，则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=$
若 $y=\left(1+x^2\right)^{\arctan x}$ ，则 $\mathrm{d} y=$
解答题
设 $f(x)$ 在 $x=1$ 点附近有定义，且在 $x=1$ 点可导，$f(1)=0, f^{\prime}(1)=$ 2 ，求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\sin ^2 x+\cos x\right)}{x^2}$
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{2}{x}}-\mathrm{e}^2(1-\ln (1+x))}{x}$ ．
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x}{x}, & x>0 \\ a x^2+b x+1, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ ，试确定常数 $a$ 和 $b$ ，使得 $f(x)$二阶可导，并求 $f^{\prime \prime}(x)$ 。
记 $f_n(x)=\sum_{k=0}^n(-1)^k\left(\frac{x^{2 k}}{(2 k)!}+\frac{x^{2 k+1}}{(2 k+1)!}\right)=\left(1+\frac{x}{1}-\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\cdots+\right. \left.(-1)^n\left(\frac{x^{2 n}}{(2 n)!}+\frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}\right)\right)$ ，求 $\left.\left[f_n(x) \sin x\right]^{(2 n+1)}\right|_{x=0}$ ，这里 $n$ 是非负整数．
求 $f(x)=\frac{x}{1+x^2}$ 在区间 $(-2,3)$ 上的最值．
全面讨论函数 $y=x^{\frac{2}{3}}(1-x)^{\frac{1}{3}}$ 的性态，并作出它的图形．

$$
\left[y^{\prime}=\frac{1}{3} x^{-\frac{1}{3}}(1-x)^{-\frac{2}{3}}(2-3 x), y^{\prime \prime}=-\frac{2}{9} x^{-\frac{4}{3}}(1-x)^{-\frac{5}{3}}\right]
$$
证明题
用极限定义证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{2 x+\sqrt{x}}-\sqrt{x}}{1+x}=0$ ．
已知函数 $y=f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上二阶可导，且有非零 $x_0 \in \mathbf{R}$ 使得 $f\left(\dot{x}_0\right)=0$ ．证明：
（1）存在 $\eta \in \mathbf{R}$ ，使得 $\eta f^{\prime}(\eta)+f(\eta)=0$ ；
（2）若 $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上有界，则存在 $\xi \in \mathbf{R}$ ，使得 $\xi f^{\prime \prime}(\xi)+(2+\xi) f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=$ 0.