$a, b$ 取何值时，线性方程组
$$
\begin{cases}
a x + b y + 2z = 1 \\
a x + (2b-1) y + 3z = 1 \\
a x + b y + (b+3) z = 2b-1
\end{cases}
$$
有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。
设 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 都是非零实数，设
$$
D_1=
\begin{vmatrix}
1+a_1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\
1 & 1+a_2 & 1 & \dots & 1 \\
1 & 1 & 1+a_3 & \dots & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 1 & 1 & \dots & 1
\end{vmatrix},\quad
D_2=
\begin{vmatrix}
1+a_1 & 1 & 1 & \dots & 0 \\
1 & 1+a_2 & 1 & \dots & 0 \\
1 & 1 & 1+a_3 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 1 & 1 & \dots & a_n
\end{vmatrix}
$$
计算 $D=D_1+D_2$
证明 $f(x)=x^4+1$ 在有理数域上不可约。
令 $A$ 为数域 $F$ 上秩为 $r$ 的 $m \times n$ 矩阵，$r>0$ 。求证：存在秩为 $r$ 的 $m \times r$ 矩阵 $F$ 和秩为 $r$ 的 $r \times n$ 矩阵 $G$ ，使得 $A=F G$ 。
设 $A, B$ 是 $n \times n$ 矩阵，且 $A+B, A-B$ 可逆。求证 $2 n \times 2 n$ 矩阵 $P=\left(\begin{array}{ll}A & B \\ B & A\end{array}\right)$ 可逆，且求 $P^{-1}$ 。